Géométrie et trigonométrie, depuis le tout débutPour comprendre tes notes du premier cours, pas pour les réciter.

0Mode d'emploi

Ce cours est long, et c'est voulu : tu rattrapes en une semaine des notions étalées sur plusieurs années de collège et de lycée. Il est construit comme un escalier. Chaque partie s'appuie sur les précédentes, donc si tu sautes une marche, tu trébucheras plus haut.

Tes 16 blocages, et où trouver la réponse

• 1Le rayon
• 2Cercle orienté, sens direct
• 3« L'ordre est 1 »
• 4Repère orthonormé (direct)
• 5Radian, cosinus, sinus
• 6Thêta, θ
• 7Ce que π représente
• 8Projeté orthogonal
• 9Pythagore et Thalès
• 10Triangle rectangle
• 11Quadrilatère
• 12Périodicité
• 13Valeurs remarquables
• 14Triangle isocèle
• 15Triangle équilatéral
• 16Médiatrice

Sommaire

1. Les briques de base
2. Triangles et quadrilatères
3. Le cercle et π
4. Le repère
5. Pythagore et Thalès
6. Cercle trigonométrique et radian
7. Cosinus, sinus, tangente
8. Les valeurs remarquables
9. Fonctions et périodicité
10. Au-delà de π/2
11. Relecture de tes notes
12. Ta feuille d'exercices

1Les briques de base

Avant de construire une maison, on apprend ce qu'est une brique. Ici, les briques s'appellent point, segment, droite et angle.

1.1 Point, segment, droite, longueur

Un point est une position, sans épaisseur : imagine la pointe d'un crayon infiniment fine. On le nomme avec une lettre majuscule : A, O, M…

Avec deux points A et B, on peut fabriquer trois objets différents, chacun avec sa notation. C'est important, parce que ta prof va passer de l'un à l'autre sans prévenir :

Tes notes contiennent les trois : « projeté orthogonal de M sur (OI) » parle d'une droite, « OH = x » parle d'une longueur. Relis-les avec cette grille, elles deviennent déjà plus claires.

1.2 L'angle

Un angle, c'est l'ouverture entre deux demi-droites qui partent d'un même point, appelé le sommet. Pense à une paire de ciseaux ou à une porte qui s'ouvre : l'angle mesure de combien c'est ouvert, peu importe la longueur des lames.

On le mesure d'abord en degrés (°). Par convention, un tour complet vaut 360°. Pourquoi 360 ? Pas pour une raison mathématique profonde : c'est un héritage des astronomes babyloniens. 360 est proche du nombre de jours dans une année, et il se divise par énormément de nombres (2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12…). C'est un choix humain. Garde cette idée : elle expliquera pourquoi les mathématiciens ont inventé une autre unité, le radian.

Les repères à connaître : l'angle droit vaut 90°, un quart de tour (le coin d'une feuille) ; l'angle plat vaut 180°, un demi-tour (il forme une ligne droite) ; le tour complet vaut 360°. Un angle plus petit que 90° est dit aigu ; entre 90° et 180°, il est obtus.

1.3 Perpendiculaire

Deux droites sont perpendiculaires quand elles se coupent en formant un angle droit. On écrit (d) ⊥ (d′). Tu en as sous les yeux en ce moment : sur ta feuille de cours, la marge rouge verticale est perpendiculaire aux lignes horizontales.

1.4 Nommer un angle : la règle de la lettre du milieu

Dans tes notes, tu écris des choses comme OĤM = 90° ou HÔM = 45°. Le chapeau se place sur la lettre du sommet, qui est toujours celle du milieu.

• OĤM : l'angle en H, entre les segments [HO] et [HM].
• HÔM : l'angle en O, entre [OH] et [OM].

Réflexe : lis OĤM comme « l'angle en H ». Et quand on dit qu'un triangle est « rectangle en H », cela veut dire que son angle droit est en H.

1.5 La somme des angles d'un triangle vaut 180°

Ce résultat sert deux fois dans tes notes (démonstrations de π/4 et de π/3) : si tu connais deux angles d'un triangle, tu trouves le troisième par soustraction.

2Les triangles et les quadrilatères

Trigonométrie veut dire, en grec, « mesure des triangles » (tri = trois, gônia = angle, metron = mesure). Il faut donc connaître les triangles comme ta poche. Trois familles jouent un rôle dans tes notes.

2.1 Le triangle rectangle

Un triangle rectangle est un triangle qui possède un angle droit. « Rectangle en A » : l'angle droit est au sommet A.

Le côté situé en face de l'angle droit s'appelle l'hypoténuse. C'est toujours le plus long des trois. Les deux autres sont simplement « les côtés de l'angle droit ».

Pourquoi ce triangle compte autant ? Parce que toute la trigonométrie est construite sur lui : le théorème de Pythagore ne marche que dans un triangle rectangle, et c'est là que cosinus et sinus sont nés.

2.2 Isocèle et équilatéral

Un triangle isocèle a deux côtés de même longueur. Le mot vient du grec iso (même) et skelos (jambe) : « deux jambes identiques ». Le sommet où se rejoignent les deux côtés égaux est le sommet principal : « isocèle en A » veut dire que c'est A.

Un triangle équilatéral a ses trois côtés égaux (équi = égal, latéral = côté). Ses trois angles sont donc égaux aussi, et comme ils font 180° au total, chacun vaut 180 ÷ 3 = 60°.

C'est exactement l'argument de ta démonstration de π/4 : le triangle a deux angles de 45°, donc il est isocèle, donc deux de ses côtés sont égaux.

2.3 Le quadrilatère

Un quadrilatère est une figure fermée à quatre côtés (quadri = quatre, latère = côté). Carré, rectangle, losange, trapèze sont des quadrilatères particuliers ; un cerf-volant tordu en est un aussi.

Un rectangle est un quadrilatère avec quatre angles droits. Ses côtés opposés sont égaux deux à deux.

2.4 Médiatrice, hauteur et « pied »

La médiatrice d'un segment [AB] est la droite qui coupe [AB] en son milieu et perpendiculairement. Deux conditions à la fois : au milieu, et à angle droit.

Deux mots voisins apparaissent dans tes notes. La hauteur d'un triangle issue d'un sommet est le segment qui part de ce sommet et tombe perpendiculairement sur le côté opposé. Le point où elle « atterrit » s'appelle son pied. Dans un triangle équilatéral, la hauteur tombe pile au milieu du côté opposé : hauteur et médiatrice sont confondues. C'est la clé de la démonstration de π/3.

3Le cercle et le nombre π

3.1 Cercle, centre, rayon, diamètre

Le cercle de centre O et de rayon r est l'ensemble de tous les points situés exactement à la distance r du point O. Pas un peu plus, pas un peu moins : exactement r.

Le mot rayon désigne deux choses : le segment qui relie le centre à un point du cercle, et sa longueur r. Le diamètre est un segment qui traverse le cercle en passant par le centre : sa longueur vaut deux rayons, d = 2r.

Petite nuance : le cercle, c'est seulement la ligne (le chemin de la chèvre). La surface à l'intérieur s'appelle le disque. En trigonométrie, on travaille sur le cercle.

3.2 Ce que π représente vraiment

Tu sais que π ≈ 3,14. Mais π n'est pas un nombre tombé du ciel : c'est un rapport.

Une pièce de monnaie, une roue de vélo, l'équateur de la Terre : petit ou gigantesque, le tour mesure toujours « un peu plus de 3 diamètres ». Ce « un peu plus de 3 », fixe et universel, on l'a baptisé π, la lettre grecque « p » (comme périphérie).

Conséquence directe : périmètre = π × diamètre = π × 2r, qu'on écrit P = 2πr. C'est le « P = 2πR » de ta page 1.

Pour un cercle de rayon 1, retiens ces trois longueurs. Elles sont la fondation de tout ce qui suit :

4Le repère

4.1 Donner une adresse à chaque point

Un repère est un système qui donne à chaque point du plan une « adresse » faite de deux nombres. Tu connais déjà le principe : à la bataille navale, « B4 » désigne une case ; au cinéma, « rang 12, siège 7 » désigne un fauteuil.

Le repère a un point de départ, l'origine O, et deux axes gradués :

• l'axe horizontal, l'axe des abscisses, qui donne le premier nombre, noté x ;
• l'axe vertical, l'axe des ordonnées, qui donne le second nombre, noté y.

Le point M(3 ; 2) s'atteint en partant de O : 3 pas vers la droite, puis 2 pas vers le haut. Ces deux nombres sont les coordonnées de M. Un nombre négatif veut dire « vers la gauche » (pour x) ou « vers le bas » (pour y).

4.2 Orthonormé, et le mystère de « l'ordre est 1 »

Décompose le mot : ortho + normé.

• Ortho veut dire « droit » (comme dans orthographe, l'écriture « droite », ou orthodontiste, qui redresse les dents). Ici : les deux axes sont perpendiculaires.
• Normé vient de norme, qui en maths désigne une longueur. Ici : l'unité est la même sur les deux axes, OI = OJ = 1.

Pourquoi l'exiger ? Imagine une carte où 1 cm vaut 1 km vers l'est mais 3 km vers le nord : les distances seraient faussées, et Pythagore donnerait des résultats absurdes. Un repère orthonormé est une carte « honnête » : axes bien d'équerre, même échelle dans toutes les directions.

Et la flèche au-dessus de OI ? OI est un vecteur : pas une longueur, mais un déplacement, « aller de O jusqu'à I », avec une direction, un sens et une longueur. Écrire le repère (O, OI, OJ) revient à dire : « point de départ O ; un pas standard vers la droite ; un pas standard vers le haut ».

Enfin, « (OI, OJ) = π/2 » se lit : pour passer de la flèche OI à la flèche OJ, on tourne d'un quart de tour (π/2 radian, on verra pourquoi à la partie 6) dans le sens direct. Ce qui nous amène au point suivant.

4.3 Le sens direct

Pour tourner autour d'un point, il y a deux sens possibles. Les mathématiciens ont choisi, une fois pour toutes, lequel compte comme positif :

Un « cercle orienté dans le sens direct » est donc un cercle sur lequel on a décidé que tourner vers le haut en partant de la droite compte positivement. Et un « repère orthonormé direct » est un repère où passer de OI à OJ se fait en tournant dans ce sens : x vers la droite, y vers le haut. C'est le repère habituel.

4.4 Le projeté orthogonal

Le projeté orthogonal d'un point M sur une droite d est le point H de d tel que la droite (MH) soit perpendiculaire à d. (« Orthogonal » est un synonyme savant de « perpendiculaire ».)

5Pythagore et Thalès

Les deux théorèmes les plus célèbres du collège. Un théorème, c'est une affirmation qui a été démontrée : une fois prouvée, on peut l'utiliser partout sans la redémontrer.

5.1 Rappel : carré et racine carrée

Le carré d'un nombre, c'est ce nombre multiplié par lui-même : x² = x × x. Par exemple 3² = 9 et (1/2)² = 1/4.

La racine carrée fait le chemin inverse : √a est le nombre positif dont le carré vaut a. Donc √9 = 3 et √(1/4) = 1/2. Règle utile : la racine d'une fraction, c'est la racine du haut sur la racine du bas. Ainsi √(3/4) = √3 / √4 = √3/2.

5.2 Le théorème de Pythagore

La figure montre ce que l'égalité veut dire physiquement : construis un carré sur chaque côté. L'aire du grand carré (celui de l'hypoténuse) est exactement la somme des aires des deux autres. Compte les cases : 9 + 16 = 25.

À quoi ça sert ? À calculer un côté inconnu quand on connaît les deux autres. Avec des côtés de l'angle droit de 3 et 4 : hypoténuse² = 9 + 16 = 25, donc hypoténuse = √25 = 5.

5.3 Le théorème de Thalès

Thalès parle de triangles qui ont la même forme mais pas la même taille : l'un est un agrandissement de l'autre. On dit qu'ils sont semblables. Dans un agrandissement, toutes les longueurs sont multipliées par le même nombre : les côtés sont proportionnels.

6Le cercle trigonométrique et le radian

6.1 θ, la lettre thêta

θ (« thêta ») est la 8ᵉ lettre de l'alphabet grec. Par tradition, les mathématiciens nomment les angles avec des lettres grecques : α (alpha), β (bêta), θ (thêta), φ (phi). θ n'a rien de magique : c'est un nom pour « un angle quelconque », exactement comme x est un nom pour « un nombre quelconque ». Pour l'écrire à la main : un ovale barré horizontalement. (Et π, que tu connais déjà, est aussi une lettre grecque : le « p ».)

6.2 La définition

Pourquoi un rayon de 1 ? Parce que multiplier ou diviser par 1 ne change rien : toutes les formules deviennent les plus simples possibles. C'est le cercle « étalon », la taille de référence.

6.3 Pourquoi son équation est x² + y² = 1 (tes notes, pas à pas)

Prends un point M(x ; y) quelconque sur le cercle, placé en haut à droite pour commencer. Voici le raisonnement de ta page 2, décomposé :

1. On projette M : H sur l'axe horizontal, K sur l'axe vertical (partie 4.4).
2. Le quadrilatère OHMK a trois angles droits : c'est un rectangle (partie 2.3). Donc OH = KM = x et HM = OK = y.
3. Le triangle OHM est rectangle en H. Son hypoténuse est [OM], et OM = 1 puisque c'est un rayon.
4. Pythagore : OH² + HM² = OM², c'est-à-dire x² + y² = 1.

Cette égalité est vraie pour tous les points du cercle, et seulement pour eux. Elle fonctionne comme un test d'appartenance, un peu comme ton password checker teste si un mot de passe passe ou non : un point est sur le cercle si et seulement si x² + y² = 1. Essai avec (0,6 ; 0,8) : 0,36 + 0,64 = 1, il passe. Avec (1 ; 1) : 1 + 1 = 2, il échoue.

Ta prof écrit aussi √(x² + y²) = 1. C'est la même chose (on a pris la racine des deux côtés) : √(x² + y²) est la distance de O à M, et elle vaut le rayon, 1.

6.4 Lire la notation ensembliste

Lecture complète : « C est l'ensemble des couples de réels (x, y) tels que x² + y² = 1 ».

6.5 Le radian

Rappelle-toi : 360° est un choix arbitraire des Babyloniens. Les mathématiciens voulaient une unité d'angle qui vienne du cercle lui-même. Leur idée :

Conséquence immédiate, grâce à la partie 3 : le tour complet mesure 2π, donc un tour = 2π radians. Un demi-tour vaut π rad, un quart de tour π/2 rad. D'où la correspondance fondamentale :

Pourquoi s'embêter avec les radians ? Parce qu'en radians, l'angle est une longueur. Et plus tard, en analyse, les formules de dérivée de sin et cos ne sont simples qu'en radians. À l'université, on travaille donc toujours en radians.

7Cosinus, sinus et tangente

7.1 La définition, le cœur de tout

Place le point M sur le cercle trigonométrique à l'angle θ = (OI, OM), c'est-à-dire en enroulant une longueur θ de fil à partir de I. Alors :

C'est tout. Le cosinus dit de combien M est à droite (ou à gauche) du centre ; le sinus dit de combien il est en haut (ou en bas).

Manipule la figure : fais glisser le curseur et observe les segments bleu et rouge.

Expériences à faire avec la figure : que valent cos et sin pour 0 ? Pour π/2 ? Pour π ? Quand le cosinus devient-il négatif ? Et le sinus ? Arrive-t-on à dépasser 1 ? Plus tard, tu pourras aussi t'en servir pour vérifier tes réponses à l'exercice 1, après les avoir cherchées sur papier.

7.2 Le lien avec le triangle (ce que tu as peut-être vu au collège)

Au collège, on définit cos et sin dans un triangle rectangle, par rapport à l'un de ses angles aigus :

• le côté adjacent : le côté de l'angle droit « collé » à l'angle ;
• le côté opposé : le côté situé en face de l'angle ;
• l'hypoténuse.

Moyen mnémotechnique : CAH SOH TOA (prononce « casse-toi »). Cos = Adjacent sur Hypoténuse, Sin = Opposé sur Hypoténuse, Tan = Opposé sur Adjacent.

Pourquoi l'université préfère la version « cercle » ? Parce qu'un triangle rectangle ne peut pas avoir un angle de 150° ou de −30°. Le cercle, lui, accepte tous les angles : on continue simplement d'enrouler le fil.

7.3 La tangente

On définit tan θ = sin θ / cos θ. On ne peut pas diviser par 0, donc la tangente n'existe que si cos θ ≠ 0. Elle est indéfinie en π/2 (et en 3π/2), là où M est tout en haut ou tout en bas. C'est le « X » de ton tableau.

Sa signification géométrique (le dessin de ta page 1) : trace la droite verticale qui passe par I. Elle ne touche le cercle qu'en un seul point, I : on dit qu'elle est tangente au cercle, du latin tangere, toucher. Prolonge la droite (OM) jusqu'à ce qu'elle coupe cette verticale en un point T. Alors IT = tan θ. C'est le segment vert de la figure interactive.

7.4 La relation fondamentale

Le point M(cos θ ; sin θ) est sur le cercle, donc ses coordonnées passent le test x² + y² = 1 :

Notation piège : cos²θ veut dire (cos θ)², le cosinus mis au carré. Pas cos(θ²). On l'écrit ainsi pour éviter les parenthèses.

À quoi ça sert ? Si tu connais l'un, tu retrouves l'autre, au signe près. Exemple : cos θ = 3/5 donne sin²θ = 1 − 9/25 = 16/25, donc sin θ = 4/5 ou −4/5, selon que M est en haut ou en bas.

Et un garde-fou : cos et sin sont toujours entre −1 et 1, puisque ce sont les coordonnées d'un point d'un cercle de rayon 1. Si tu trouves sin θ = 1,3, tu t'es trompé quelque part.

8Les valeurs remarquables

Pour la plupart des angles, cos et sin sont des nombres à virgule sans écriture simple : il faut une calculatrice. Mais pour quelques angles « remarquables », on connaît les valeurs exactes. Elles viennent toutes de deux triangles « parfaits » : le demi-carré (le triangle rectangle isocèle, pour 45°) et le demi-triangle équilatéral (pour 30° et 60°).

Ta prof a écrit « à apprendre par cœur ». Oui, mais tu vas maintenant pouvoir les reconstruire si ta mémoire flanche. La mémoire est rapide ; la compréhension est ta roue de secours.

8.1 π/4 : le demi-carré

1. M est le point du cercle à l'angle π/4 = 45°. H est son projeté sur l'axe horizontal : le triangle OHM est rectangle en H.
2. Les angles : 90° en H, 45° en O. Le troisième, en M, vaut 180 − 90 − 45 = 45° (partie 1.5).
3. Deux angles égaux, donc le triangle est isocèle : OH = HM. Appelons a cette longueur commune.
4. Pythagore, avec OM = 1 : a² + a² = 1, donc 2a² = 1, donc a² = 1/2.
5. a est une longueur, donc positive : a = √(1/2) = 1/√2 = √2/2 (rationalisation, partie 5.1).

Pourquoi « a est positive » compte : l'équation a² = 1/2 a deux solutions, √2/2 et −√2/2. On garde la positive parce qu'une longueur ne peut pas être négative. Ce genre de justification, c'est exactement ce qu'on attend de toi à l'université.

8.2 π/3 : le triangle équilatéral

1. M est le point du cercle à l'angle π/3 = 60°. On regarde le triangle OIM.
2. OI = OM = 1 (ce sont deux rayons), donc OIM est isocèle en O.
3. L'angle en O vaut 60°. Les deux autres sont égaux (triangle isocèle) et font ensemble 180 − 60 = 120°, donc 60° chacun.
4. Trois angles de 60° : OIM est équilatéral, donc MI = 1 aussi.
5. H, projeté de M sur (OI), est le pied de la hauteur issue de M. Dans un équilatéral, cette hauteur est aussi la médiatrice de [OI] (partie 2.4) : H est le milieu de [OI], donc OH = 1/2.
6. Donc cos(π/3) = OH = 1/2.
7. Pythagore dans OHM : HM² = OM² − OH² = 1 − 1/4 = 3/4, donc HM = √3/2. Donc sin(π/3) = √3/2.

8.3 π/6 : ce qui manque à tes notes

Tes notes s'arrêtent sur une indication : « pour π/6, on calcule l'angle OM̂H ». Terminons.

La méthode de ta prof. Dans le triangle OHM de la figure précédente, l'angle en M vaut 180 − 90 − 60 = 30°, soit π/6. Regarde maintenant le triangle depuis cet angle de 30° : le côté adjacent est HM = √3/2, le côté opposé est OH = 1/2, l'hypoténuse est OM = 1. Avec CAH SOH TOA : cos(π/6) = √3/2 et sin(π/6) = 1/2. Le même triangle sert deux fois !

La méthode du miroir, plus visuelle :

8.4 Les retenir sans les réciter

Et deux vérifications de bon sens. Quand l'angle grandit de 0 à π/2, M monte (le sinus augmente de 0 à 1) et se rapproche de l'axe vertical (le cosinus diminue de 1 à 0). Et √2/2 ≈ 0,71 est bien entre 1/2 = 0,5 et √3/2 ≈ 0,87, ce qui est logique puisque π/4 est entre π/6 et π/3.

9Les fonctions trigonométriques et la périodicité

9.1 Lire « cos : [0 ; 2π[ → ℝ »

Le sens des crochets. Dans [0 ; 2π[, le crochet de gauche est tourné vers l'intérieur : 0 est inclus. Le crochet de droite est tourné vers l'extérieur : 2π est exclu. Pourquoi exclure 2π ? Parce qu'après un tour complet, on retombe sur le point I, le même que pour 0. On ne veut pas compter ce point deux fois.

Pour la tangente, tes notes donnent tan : [0 ; π/2[ → ℝ. Le nombre π/2 est exclu parce que la tangente n'y est pas définie.

9.2 La périodicité

Périodique veut dire : qui se répète à l'identique à intervalles réguliers. La durée d'un cycle s'appelle la période. Tu vis entouré de phénomènes périodiques : les jours de la semaine (période 7 jours), les saisons (1 an), les aiguilles d'une horloge (12 heures), les battements de ton cœur.

Pour cos et sin : ajouter 2π à un angle, c'est faire un tour complet de plus. On retombe exactement sur le même point M, donc sur les mêmes coordonnées.

« Prolonger par périodicité », ça veut dire quoi ? La définition de départ ne donnait cos que sur [0 ; 2π[, un seul tour. Pour le définir sur tout ℝ, on continue d'enrouler le fil : au-delà de 2π, on refait des tours ; pour les nombres négatifs, on enroule dans le sens horaire. Comme sur une horloge : 14 h, c'est la même position des aiguilles que 2 h.

Exemple : 9π/4 = 2π + π/4. On a fait un tour complet, puis encore π/4. Donc cos(9π/4) = cos(π/4) = √2/2.

10Au-delà de π/2 : les angles associés

Ta feuille d'exercices demande des valeurs comme cos(2π/3) ou sin(13π/6). Ces angles ne sont pas dans le tableau, mais on peut toujours se ramener à un angle du premier quart grâce aux symétries du cercle. Rien à apprendre par cœur : le dessin donne la réponse.

10.1 Les trois symétries

10.2 La méthode en quatre étapes

1. Réduire. Si l'angle dépasse 2π ou est négatif, ajoute ou retire des tours complets (2π) pour le ramener entre 0 et 2π.
2. Placer le point. Exprime l'angle par rapport à π, le demi-tour. Par exemple 3π/4 = π − π/4 : un demi-tour moins un huitième de tour, en haut à gauche.
3. Trouver le jumeau. Repère l'angle de référence du premier quart (π/6, π/4 ou π/3) qui lui est symétrique.
4. Mettre les signes. cos est positif à droite, négatif à gauche ; sin est positif en haut, négatif en bas.

C'est l'esprit de la phrase en haut de ta page 1 : « formule algébrique → représentation graphique ». Devant chaque calcul, dessine le cercle.

10.3 Résoudre sin x = a ou cos x = a

Résoudre « sin x = a », c'est chercher tous les points du cercle dont l'ordonnée vaut a : trace la droite horizontale y = a, et regarde où elle coupe le cercle. Pour « cos x = a », trace la droite verticale x = a.

Exemple : sin x = √2/2. La droite horizontale y = √2/2 coupe le cercle en deux points : π/4 et π − π/4 = 3π/4. Dans [0 ; 2π], les solutions sont donc π/4 et 3π/4. Dans ℝ, on ajoute tous les tours possibles : x = π/4 + 2kπ ou x = 3π/4 + 2kπ, avec k ∈ ℤ (ℤ est l'ensemble des entiers relatifs : …, −2, −1, 0, 1, 2, …).

11Relecture de tes notes : corrections et compléments

Tu as pris des notes à toute vitesse ; c'est normal qu'il y ait des trous. Voici ce que j'ai repéré en les lisant. C'est de l'écriture manuscrite : si je lis mal un passage, fie-toi à ta copie.

1. « dont l'ordre est 1 » : très probablement « dont la norme est 1 ». Les vecteurs OI et OJ mesurent 1 (partie 4.2).
2. Ta boîte « en résumé » de la page 3 : il me semble lire cos²θ + sin θ = 1. Le sinus aussi est au carré : cos²θ + sin²θ = 1 (partie 7.4). Ta boîte rouge juste au-dessus est correcte.
3. Le bas de ta page 1 : les formules sur l'arc sont difficiles à relire. Retiens la version propre : angle en radians = longueur d'arc ÷ rayon ; sur le cercle trigonométrique, angle = longueur d'arc ; et x degrés × π/180 = l'angle en radians.
4. La démonstration de π/6 s'arrête à « l'indication » : elle est complétée en partie 8.3.
5. Dans la démonstration de π/4, l'angle noté « ÂMO » est l'angle en M du triangle OHM, qu'on écrirait plutôt OM̂H. Le raisonnement, lui, est juste.
6. « x = OH et y = OK » n'est vrai que si M est dans le quart en haut à droite. En général, une longueur est positive alors qu'une coordonnée peut être négative. C'est justement pour ça que la définition par le cercle (cos = abscisse) est plus puissante que celle par le triangle.

12Et maintenant : ta feuille d'exercices

Franchement : tu n'as pas encore tous les outils pour toute la feuille, et c'est normal. Plusieurs exercices demandent des formules qui ne sont pas encore dans tes notes : les formules d'addition, comme cos(a + b), et de duplication, comme cos(2x). Le titre de ta partie I annonce « formules », elles arriveront sans doute au prochain cours.

Commence par l'exercice 1, en redessinant le cercle à chaque question. Si tu bloques, reviens à la partie 10.

Avant le prochain cours, tu dois pouvoir…

• expliquer avec tes mots ce que sont un rayon, un repère orthonormé direct et un projeté orthogonal ;
• énoncer Pythagore et Thalès, et dire quand on a le droit de les utiliser ;
• convertir des degrés en radians, et inversement ;
• dire ce que valent cos θ et sin θ sur le cercle, sans formule ;
• redémontrer x² + y² = 1 et cos²θ + sin²θ = 1 ;
• retrouver les valeurs remarquables à partir des deux triangles « parfaits » ;
• expliquer pourquoi cos(x + 2π) = cos x ;
• placer un angle comme 5π/6 ou −π/4 sur le cercle et trouver son cos et son sin.

Si tu coches tout ça, tu n'arriveras pas au prochain cours en recopiant sans comprendre : tu sauras d'où vient chaque ligne du tableau. Et c'est exactement le passage « calcul → raisonnement » dont on parlait avant la rentrée.