Le calcul, depuis le tout début

0Mode d'emploi

Dans ton cours de Fonctions élémentaires, une ligne comme « on factorise, puis on étudie le signe » suppose que factoriser est devenu automatique. Si ce n'est pas le cas, tu dois comprendre deux choses à la fois : la notion du cours, et les calculs qui l'entourent. C'est épuisant, et ça donne l'impression de ne rien comprendre, alors que le blocage vient souvent des calculs, pas de la notion. Ce cours s'occupe des calculs.

Comment travailler

Crayon et feuille obligatoires. Refais chaque exemple sur ta feuille avant de lire la solution. En calcul, on apprend en faisant, pas en lisant.
Les questions de fin de partie : réponds par écrit avant d'ouvrir les réponses.
Le labo de la partie 7 vérifie tes calculs. Tu tapes ton expression de départ et ton résultat : il te dit s'ils sont égaux, et sinon, il te donne une valeur qui le prouve. Sers-t'en pour tous les exercices.
Rythme conseillé, une heure par jour : jour 1, le test et la partie 1 ; jour 2, les parties 2 et 3 ; jour 3, la partie 4 ; jour 4, la partie 5 ; jours 5 et 6, la partie 6 ; ensuite, la feuille d'entraînement, par petits morceaux. Ne passe à la partie suivante que si tu réussis les questions de la précédente.

Où se situe ce cours

C'est le premier d'une série de remise à niveau. Les chapitres sont rangés dans l'ordre où chacun s'appuie sur le précédent :

le calcul avec les nombres (ce cours, partie 1) ;
le calcul littéral (ce cours, parties 2 à 5) ;
les équations (ce cours, partie 6) ;
les inéquations et les tableaux de signes, avec la valeur absolue ;
les fonctions : vocabulaire, courbes, variations, fonctions de référence ;
le second degré : discriminant, factorisation, signe ;
la dérivation ;
les suites arithmétiques et géométriques ;
l'exponentielle, le logarithme et les limites.

Il renvoie souvent à ton cours La logique, depuis le tout début : une équation est un prédicat, et une erreur de calcul se prouve par un contre-exemple.

Le test de positionnement

Dix questions de calcul sur des nombres, sans calculatrice. Le test ne compte pas : il sert à savoir où commencer. Réponds sans chercher trop longtemps, et ne réponds pas au hasard : une réponse devinée fausserait le résultat. À la fin, il t'indique les parties à travailler en priorité.

1Les outils de base : calculer avec des nombres

Le calcul littéral, c'est du calcul avec des lettres qui remplacent des nombres. Ses règles sont exactement celles du calcul ordinaire : si une règle est floue avec des nombres, elle le sera encore plus avec des lettres. On fait donc d'abord le point sur cinq outils. Si le test t'a donné tout juste sur l'un d'eux, lis sa sous-partie rapidement.

1.1 Les priorités de calcul

Quand un calcul contient plusieurs opérations, l'ordre dans lequel on les fait change le résultat : (2 + 3) × 4 = 20, mais 2 + (3 × 4) = 14. Sans parenthèses, il faut donc une règle pour savoir quoi faire en premier. Cette règle est une convention, comme le code de la route : tout le monde l'applique, pour que 2 + 3 × 4 ait la même valeur pour tout le monde.

L'ordre des opérations (operator precedence)

ce qui est entre parenthèses ;
les puissances ;
les multiplications et les divisions, de gauche à droite ;
les additions et les soustractions, de gauche à droite.

5 + 2 × 3² =5 + 2 × 9 D'abord la puissance : 3² = 9. =5 + 18 Puis la multiplication. =23 Enfin l'addition.

« De gauche à droite » compte aussi : 12 ÷ 3 × 2 = 4 × 2 = 8, et non 12 ÷ 6 = 2. De même, 10 − 4 − 3 = 6 − 3 = 3, et non 10 − 1 = 9.

Tu connais déjà cette règle

Python applique exactement le même ordre : 2 + 3 * 4 donne 14, et 2 ** 3 * 2 donne 16. En Racket, la question ne se pose jamais, parce que chaque opération a ses propres parenthèses : 2 + 3 × 4 s'écrit (+ 2 (* 3 4)), et l'écriture dit elle-même quoi faire en premier. Les priorités servent justement à économiser ces parenthèses : 2 + 3 × 4 est un raccourci pour 2 + (3 × 4).

1.2 Les nombres relatifs

Additionner et soustraire

Pense à un compte en banque. Un nombre positif, c'est de l'argent que tu as ; un nombre négatif, une dette. Ajouter, c'est recevoir ; soustraire, c'est dépenser.

4 − 9 = −5 : tu as 4 €, tu dépenses 9 €, tu es à découvert de 5 €.
−2 − 5 = −7 : tu dois déjà 2 €, tu dépenses encore 5 €, tu dois 7 €.
−2 + 5 = 3 : tu dois 2 €, tu reçois 5 €, il te reste 3 €.

L'opposé d'un nombre, c'est le même nombre avec l'autre signe : l'opposé de 3 est −3, et l'opposé de −3 est 3. On l'écrit avec un signe moins : −(−3) = 3.

Soustraire, c'est ajouter l'opposé

a − b = a + (−b)

D'où 7 − (−3) = 7 + 3 = 10 : enlever une dette, c'est s'enrichir.

Multiplier et diviser : la règle des signes

×	positif	négatif
positif	positif	négatif
négatif	négatif	positif

Deux nombres de même signe donnent un produit positif ; deux nombres de signes différents, un produit négatif. La division suit la même règle : (−12) ÷ (−3) = 4 et (−12) ÷ 3 = −4.

Pourquoi « moins par moins donne plus » ? Regarde la table de multiplication de −3, en faisant descendre le second nombre :

(−3) × 3 = −9 (−3) × 2 = −6 (−3) × 1 = −3 (−3) × 0 = 0 (−3) × (−1) = ? (−3) × (−2) = ?

À chaque ligne, le résultat augmente de 3. Pour que la table continue de la même façon, il faut (−3) × (−1) = 3, puis (−3) × (−2) = 6. « Moins par moins donne plus » est la seule règle qui garde la table cohérente. Un exercice de la feuille d'entraînement le démontre proprement, avec la distributivité de la partie 3.

Avec plusieurs facteurs, compte les signes moins : un nombre pair de signes moins donne un résultat positif, un nombre impair un résultat négatif. (−1) × (−2) × (−3) = −6, puisqu'il y a trois signes moins.

Le signe moins devant une parenthèse

−(…) veut dire « l'opposé de ce qu'il y a dans la parenthèse ». Pour enlever une parenthèse précédée d'un signe moins, on change le signe de tout ce qu'elle contient :

10 − (3 − 1) = 10 − 3 + 1 = 8

Vérifie : la parenthèse vaut 2, et 10 − 2 = 8. L'erreur classique est de ne changer que le premier signe : 10 − 3 − 1 = 6, faux. La partie 3 expliquera pourquoi tous les signes changent : c'est la distributivité. Un signe plus devant une parenthèse, lui, ne change rien : 10 + (3 − 1) = 10 + 3 − 1.

1.3 Les fractions

a/b, ou ab, veut dire a ÷ b. Le nombre du haut est le numérateur (numerator), celui du bas le dénominateur (denominator). Le dénominateur n'est jamais 0 : diviser par 0 n'a pas de sens, et Python le refuse avec ZeroDivisionError.

Simplifier

On peut multiplier ou diviser le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul : la fraction ne change pas. Couper une pizza en 6 parts et en prendre 4, ou la couper en 3 parts et en prendre 2, c'est la même quantité de pizza.

1218 = 6 × 26 × 3 = 23

Pour simplifier, on cherche un facteur commun au numérateur et au dénominateur (ici 6), et on le barre en haut et en bas.

On simplifie des facteurs, jamais des termes

(2 × 5)/2 = 5 : le 2 multiplie, c'est un facteur, on peut le barrer. Mais (2 + 5)/2 = 7/2 = 3,5, et non 5 : dans une somme, le 2 est ajouté, c'est un terme, et on ne peut pas le barrer. Cette règle reviendra sans cesse avec les lettres : (x + 3)/x ne se simplifie pas en 3.

Multiplier

On multiplie les numérateurs entre eux, et les dénominateurs entre eux :

23 × 57 = 2 × 53 × 7 = 1021

Pour multiplier par un nombre entier, écris-le comme une fraction : 4 × 2/3 = 4/1 × 2/3 = 8/3.

Additionner et soustraire

Là, il faut un dénominateur commun. On ne peut pas additionner directement des moitiés et des tiers, comme on n'additionne pas des euros et des dollars sans convertir. On découpe donc tout en sixièmes :

12 + 13 = 36 + 26 = 56

Pour passer de 1/2 à 3/6, on a multiplié le numérateur et le dénominateur par 3 : c'est la règle de simplification, lue à l'envers. Une fois les dénominateurs égaux, on additionne les numérateurs et on garde le dénominateur. Le produit des deux dénominateurs est toujours un dénominateur commun, même si ce n'est pas toujours le plus petit : 3/4 − 1/6 = 18/24 − 4/24 = 14/24 = 7/12. Avec 12 directement : 9/12 − 2/12 = 7/12.

1/2 + 1/3 n'est pas 2/5

On n'additionne pas les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux. Contrôle de bon sens : 2/5 est plus petit que 1/2, alors qu'on a ajouté un nombre positif à 1/2. C'est impossible.

Diviser

Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse, c'est-à-dire par la fraction retournée :

23 ÷ 45 = 23 × 54 = 1012 = 56

Pourquoi ? Diviser par 2, c'est prendre la moitié, donc multiplier par 1/2 : l'inverse de 2 est 1/2, parce que 2 × 1/2 = 1. De même, l'inverse de 4/5 est 5/4, parce que 4/5 × 5/4 = 1. Diviser par un nombre et multiplier par son inverse donnent toujours le même résultat.

Avec les machines

Python calcule les fractions en décimal approché : 1/2 + 1/3 donne 0.8333333333333333. Racket calcule exactement : (+ 1/2 1/3) donne 5/6, comme dans ton premier chapitre de Racket. En maths, on garde les fractions exactes : 5/6 est plus précis que 0,83.

1.4 Les puissances

aⁿ (« a puissance n », ou « a exposant n ») est le produit de n facteurs égaux à a. a est la base, n l'exposant (exponent) :

2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

a² se lit « a au carré », a³ « a au cube ». Par convention, a¹ = a et a⁰ = 1 (pour a non nul). En Python, aⁿ s'écrit a ** n ; en Racket, (expt a n).

Les règles viennent toutes d'une seule idée : compter les facteurs

2³ × 2⁴ = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2 × 2) = 2⁷

Règle	Pourquoi	Exemple
aⁿ × aᵐ = a^{n + m}	n facteurs, puis m facteurs : n + m en tout	2³ × 2⁴ = 2⁷
aⁿ ÷ aᵐ = a^{n − m}	les m facteurs du bas se simplifient avec m facteurs du haut	2⁵ ÷ 2³ = 2²
(aⁿ)ᵐ = a^{n × m}	m paquets de n facteurs	(2³)² = 2⁶
(a × b)ⁿ = aⁿ × bⁿ	on regroupe les a d'un côté, les b de l'autre	(2 × 5)³ = 2³ × 5³

Les trois premières règles demandent la même base : 2³ × 3⁴ ne se simplifie pas.

Aucune règle pour l'addition

2³ + 2⁴ = 8 + 16 = 24, et non 2⁷ = 128. De même, (a + b)² n'est pas a² + b² : c'est tout le sujet de la partie 4.

Les puissances et le signe moins

(−3)² = (−3) × (−3) = 9 mais −3² = −(3 × 3) = −9

Dans −3², la puissance passe avant le signe moins (priorités, 1.1) : le carré ne porte que sur 3. Pour élever −3 au carré, il faut des parenthèses. Python suit la même règle : -3 ** 2 donne -9, et (-3) ** 2 donne 9.

Une puissance paire d'un nombre négatif est positive, une puissance impaire est négative : (−2)⁴ = 16 et (−2)³ = −8. C'est la règle des signes : on compte les signes moins. Ce point reviendra avec les lettres : si x vaut −3, alors x² = (−3)² = 9, mais −x² = −9.

1.5 La racine carrée

La racine carrée (square root) de a, notée √a, est le nombre positif dont le carré vaut a :

√49 = 7, car 7² = 49 et 7 est positif

−7 a aussi pour carré 49, mais √49 désigne, par définition, la réponse positive. Ce détail comptera pour les équations : x² = 49 a deux solutions, 7 et −7, alors que √49 vaut seulement 7 (partie 6.5).

√a n'existe que pour a positif ou nul, puisqu'aucun carré n'est négatif. Python refuse math.sqrt(-4) avec ValueError: math domain error. Racket, lui, répond 0+2i : c'est un nombre complexe, hors programme.

Les carrés parfaits à connaître : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144. Les autres racines, comme √2 ou √5, ne tombent pas juste : on les garde sous cette forme, comme on garde 1/3 plutôt que 0,333.

Deux règles utiles : √(a × b) = √a × √b (pour a et b positifs), par exemple √36 = √(4 × 9) = 2 × 3 = 6 ; et (√a)² = a.

La racine d'une somme n'est pas la somme des racines

√(9 + 16) = √25 = 5, alors que √9 + √16 = 3 + 4 = 7. C'est la même famille d'erreurs que (a + b)² = a² + b² : une règle vraie pour les produits, appliquée à tort à une somme.

Vérifie-toi (partie 1)

Calcule 7 + 3 × (5 − 2)².
Réponse
7 + 3 × 3² = 7 + 3 × 9 = 7 + 27 = 34. La parenthèse d'abord, puis le carré, puis la multiplication, enfin l'addition.
Calcule −4 − 6, puis −4 − (−6).
Réponse
−4 − 6 = −10 (tu dois 4, tu dépenses 6). −4 − (−6) = −4 + 6 = 2 (soustraire −6, c'est ajouter 6).
Calcule (−2) × 5 × (−3), puis (−2) × (−5) × (−3).
Réponse
30 (deux signes moins), puis −30 (trois signes moins).
Calcule 2/5 + 1/3, puis 2/5 × 1/3, puis 2/5 ÷ 1/3.
Réponse
6/15 + 5/15 = 11/15 ; 2/15 ; 2/5 × 3/1 = 6/5.
Simplifie 15/25. Pourquoi (5 + 3)/5 ne vaut-il pas 3 ?
Réponse
15/25 = (5 × 3)/(5 × 5) = 3/5. Dans 5 + 3, le 5 est un terme, pas un facteur : on ne peut pas le barrer. (5 + 3)/5 = 8/5.
Calcule (−2)³, −2⁴ et (−2)⁴.
Réponse
−8 ; −16 (la puissance ne porte que sur 2) ; 16.
Écris 3⁴ × 3² et (5²)³ sous la forme d'une seule puissance.
Réponse
3⁶ (4 + 2 facteurs) et 5⁶ (3 paquets de 2 facteurs).
Calcule √81, √(36 + 64) et √36 + √64.
Réponse
9 ; √100 = 10 ; 6 + 8 = 14. Les deux derniers résultats diffèrent : la racine d'une somme n'est pas la somme des racines.

2Les lettres dans les calculs

2.1 Pourquoi des lettres ?

Une lettre remplace un nombre. Elle peut jouer deux rôles :

un nombre quelconque. Dans la formule de l'aire d'un rectangle, A = L × l, les lettres valent pour tous les rectangles. C'est un paramètre de fonction : en Python, def aire(L, l): return L * l marche avec toutes les valeurs qu'on lui donnera.
un nombre inconnu, qu'on cherche. Dans l'équation 3x + 5 = 20, x désigne le nombre qu'on veut trouver. Ce sera la partie 6.

Une expression (expression), comme 3x + 5, est un calcul qui contient des lettres. Tu peux la voir comme une fonction qui attend une valeur de x : en Python lambda x: 3*x + 5, en Racket (lambda (x) (+ (* 3 x) 5)).

2.2 Les conventions d'écriture

Les mathématiciens écrivent vite, et ont pris quelques habitudes. Il faut savoir les lire :

On écrit	Ça veut dire	La règle
3x	3 × x	pas de × entre un nombre et une lettre
ab	a × b	ni entre deux lettres
2(x + 1)	2 × (x + 1)	ni devant une parenthèse
(x + 1)(x − 1)	(x + 1) × (x − 1)	ni entre deux parenthèses
x	1 × x	on n'écrit pas le coefficient 1
−x	(−1) × x	ni le 1 de −1
x²	x × x	et x³ = x × x × x
3x²	3 × x × x	le carré ne porte que sur x : (3x)², c'est autre chose

Le nombre s'écrit devant la lettre : on écrit 3x, jamais x3, qui ressemble trop à x³. Python, lui, ne comprend aucun de ces raccourcis : 3x est une erreur de syntaxe, il faut écrire 3*x, et 3x² s'écrit 3*x**2.

2.3 Évaluer une expression

Évaluer une expression, c'est remplacer chaque lettre par un nombre, puis calculer. C'est exactement appeler une fonction avec un argument. Prenons A = 3x² − 2x + 1, avec x = 2 :

A =3 × 2² − 2 × 2 + 1 =3 × 4 − 4 + 1 Priorités : le carré, puis les multiplications. =9

Tu as déjà rencontré cette expression : c'est (+ (* 3 x x) (* -2 x) 1), la fonction que tu as décomposée dans ton premier chapitre de Racket. Avec x = −1 :

A =3 × (−1)² − 2 × (−1) + 1 =3 × 1 + 2 + 1 (−1)² = 1, et −2 × (−1) = 2 : moins par moins donne plus. =6

Remplace toujours une lettre par un nombre entre parenthèses

Sans parenthèses, 3 × −1² se lit 3 × (−(1²)) = −3, et tout le calcul est faux. Avec, (−1)² = 1. Une parenthèse de trop ne coûte rien ; une parenthèse oubliée coûte le résultat.

2.4 Termes et facteurs : la nature d'une expression

Deux mots reviennent dans tout le cours, et il faut les distinguer :

les termes (terms) sont ce qu'on additionne. Dans 3x² − 2x + 1, les termes sont 3x², −2x et 1. Le signe fait partie du terme : le deuxième est −2x, pas 2x ;
les facteurs (factors) sont ce qu'on multiplie. Dans 3x², les facteurs sont 3 et x². Dans 2(x + 1), ce sont 2 et (x + 1) ;
le coefficient (coefficient) est le nombre qui multiplie la partie en lettres : 3 dans 3x², −2 dans −2x.

Une expression est une somme ou un produit selon la dernière opération qu'on effectuerait pour la calculer. Ton cours de Racket donne un moyen infaillible de le voir : écris l'expression en Racket, et regarde ce qui vient en tête.

Expression	En Racket	Nature
3x² − 2x + 1	`(+ (* 3 x x) (* -2 x) 1)`	une somme de trois termes
2(x + 1)	`(* 2 (+ x 1))`	un produit de deux facteurs
(x + 1)(x − 1)	`(* (+ x 1) (- x 1))`	un produit de deux facteurs
2(x + 1) + 5	`(+ (* 2 (+ x 1)) 5)`	une somme de deux termes

La dernière ligne est une somme, même si elle contient un produit : sa dernière opération est l'addition de 5.

La distinction qui organise toute la suite

Développer (expand) transforme un produit en somme. Factoriser (factor) transforme une somme en produit. Ce sont les deux sens d'un même trajet.

2.5 Réduire une expression

Réduire une expression (simplify), c'est regrouper ses termes semblables. Deux termes sont semblables quand ils ont exactement la même partie en lettres : 3x et 5x sont semblables, 2x² et −x² aussi, mais x et x² ne le sont pas.

C'est un inventaire : 3 pommes + 5 pommes = 8 pommes, mais 3 pommes + 2 poires reste 3 pommes + 2 poires. Ici, les termes en x sont les pommes, les termes en x² les poires, et les nombres seuls une troisième sorte de fruit.

4x + 3 − x + 7 =(4x − x) + (3 + 7) On regroupe les termes en x, puis les nombres seuls. =3x + 10

2x² + 5x − x² + 3x − 4 =(2x² − x²) + (5x + 3x) − 4 =x² + 8x − 4 On range par puissances décroissantes : x², puis x, puis le nombre seul.

Ranger les termes par puissances décroissantes n'est pas obligatoire, mais tout le monde le fait : ça rend les résultats faciles à comparer. Et pourquoi a-t-on le droit d'écrire 3x + 5x = 8x ? Parce que 3x + 5x = (3 + 5)x : c'est la distributivité de la partie 3, lue à l'envers.

Trois erreurs classiques

3x + 2 n'est pas 5x : un nombre seul n'est pas semblable à x. x + x = 2x, mais x × x = x². Et 3x + 2x² ne se réduit pas.

Vérifie-toi (partie 2)

Écris avec tous les signes × : 5ab, −x, 4(x − 2), 2x³.
Réponse
5 × a × b ; (−1) × x ; 4 × (x − 2) ; 2 × x × x × x.
Calcule 2x² − 5x + 3 pour x = 3, puis pour x = −2.
Réponse
2 × 9 − 15 + 3 = 6 ; 2 × (−2)² − 5 × (−2) + 3 = 8 + 10 + 3 = 21.
Pour x = −3, que valent x², −x² et (−x)² ?
Réponse
9 ; −9 ; 9. Dans −x², le carré passe avant le signe moins ; dans (−x)², −x vaut 3, et son carré 9.
Somme ou produit ? 3(x + 2) ; 3x + 2 ; (x − 1)(x + 4) ; x(x − 1) − 2.
Réponse
Produit ; somme ; produit ; somme (la dernière opération est la soustraction de 2).
Réduis : 5x − 3 + 2x + 8 ; x² + 4x − 3x² + x.
Réponse
7x + 5 ; −2x² + 5x.

3Développer

Développer (expand), c'est transformer un produit en somme : faire disparaître les parenthèses en effectuant les multiplications. On le fait pour simplifier une expression, ou pour comparer deux expressions entre elles.

3.1 La distributivité simple

La distributivité (distributive property)

k(a + b) = ka + kb k(a − b) = ka − kb

Le facteur k se « distribue » sur chaque terme de la parenthèse, comme un facteur distribue le courrier dans chaque boîte aux lettres.

L'aire du grand rectangle se calcule de deux façons : k × (a + b), en une fois, ou k × a + k × b, morceau par morceau. C'est la même aire : voilà la distributivité.

Tu l'utilises déjà en calcul mental : 7 × 102 = 7 × (100 + 2) = 700 + 14 = 714. Et dans la vie : 3 menus composés chacun d'un burger et d'une boisson, c'est 3 burgers et 3 boissons.

3(x + 4) = 3 × x + 3 × 4 = 3x + 12 5(2x − 1) = 5 × 2x − 5 × 1 = 10x − 5 x(x + 3) = x × x + x × 3 = x² + 3x 2x(3x − 4) = 2x × 3x − 2x × 4 = 6x² − 8x 2x × 3x = 2 × 3 × x × x = 6x² : on multiplie les nombres entre eux, et les lettres entre elles. −2(x − 5) = (−2) × x + (−2) × (−5) = −2x + 10 Le facteur −2 multiplie aussi le −5, et moins par moins donne plus.

Le dernier exemple est celui qui provoque le plus d'erreurs. Pour ne pas te tromper de signe, considère que chaque terme emporte son signe avec lui : dans (x − 5), les termes sont x et −5.

3.2 Le signe moins devant une parenthèse

−(a + b), c'est (−1) × (a + b). En distribuant −1 sur chaque terme :

−(a + b) = −a − b −(a − b) = −a + b

Voilà pourquoi, en partie 1.2, tous les signes de la parenthèse changeaient.

5 − (2x − 3) =5 − 2x + 3 Le signe moins change le signe de chaque terme de la parenthèse : −2x et +3. =−2x + 8

L'erreur classique, 5 − 2x − 3, oublie de changer le signe du 3.

3.3 La double distributivité

La double distributivité

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde.

Ce n'est pas une nouvelle règle : c'est la distributivité simple, appliquée deux fois. On traite d'abord (c + d) comme un seul bloc :

(a + b)(c + d) =a(c + d) + b(c + d) Le bloc (c + d) se distribue sur a et sur b. =ac + ad + bc + bd Puis a se distribue sur c et d, et b aussi.

Le grand rectangle mesure (a + b) sur (c + d). Découpé, il donne quatre rectangles : quatre produits.

Avec deux termes dans chaque parenthèse, on obtient 2 × 2 = 4 produits. C'est une double boucle : for p in (a, b): for q in (c, d): total += p * q. Avec 2 termes et 3 termes, il y aurait 6 produits.

(x + 2)(x + 5) =x × x + x × 5 + 2 × x + 2 × 5 Les 4 produits, écrits sans rien calculer de tête. =x² + 5x + 2x + 10 =x² + 7x + 10 On réduit : 5x + 2x = 7x.

(2x − 1)(x + 4) =2x × x + 2x × 4 + (−1) × x + (−1) × 4 Le −1 emporte son signe avec lui. =2x² + 8x − x − 4 =2x² + 7x − 4

(x − 3)(x − 2) = x² − 2x − 3x + 6 = x² − 5x + 6 (−3) × (−2) = +6 : moins par moins donne plus. (3 − x)(2x + 1) = 6x + 3 − 2x² − x = −2x² + 5x + 3

La méthode, à suivre à chaque fois

1. Écris les produits, chacun avec son signe, sans rien calculer de tête.

2. Calcule chaque produit.

3. Réduis, puis range par puissances décroissantes.

4. Vérifie avec une valeur (partie 3.5).

Sauter l'étape 1 pour aller plus vite est la source de la plupart des erreurs de signe.

3.4 Développer une expression plus longue

Quand une expression contient plusieurs produits, on développe chacun d'eux, puis on réduit. Attention au signe moins devant un produit : garde le résultat du développement entre parenthèses, puis enlève-les en changeant tous les signes (3.2).

A =3(x + 1) − (x − 2)(x + 4) =3x + 3 − (x² + 4x − 2x − 8) On développe chaque produit ; le second reste entre parenthèses, à cause du signe moins. =3x + 3 − (x² + 2x − 8) =3x + 3 − x² − 2x + 8 Le signe moins change le signe de chaque terme de la parenthèse. =−x² + x + 11

Sans la parenthèse de la deuxième ligne, on écrirait 3x + 3 − x² + 2x − 8 : seul le premier terme aurait changé de signe, et le résultat serait faux.

3.5 Vérifier un développement avec une valeur

Développer ne change pas la valeur d'une expression : ça la réécrit. L'expression de départ et le résultat doivent donc donner le même nombre, quelle que soit la valeur de x. C'est un test très efficace, comme un test unitaire (unit test) en programmation. Avec x = 3 :

départ : 3(3 + 1) − (3 − 2)(3 + 4) = 12 − 7 = 5 ;
résultat : −3² + 3 + 11 = −9 + 3 + 11 = 5.

Les deux valent 5. Si elles avaient différé, il y aurait une erreur, à coup sûr : c'est le contre-exemple de ton cours de logique, où une seule valeur qui ne marche pas suffit. Si elles sont égales, il n'y a très probablement pas d'erreur : une erreur qui tombe juste par hasard est rare. Pour plus de sûreté, teste deux valeurs.

Choisis des valeurs simples, mais évite 0 et 1, qui cachent certaines erreurs : avec x = 1, x² et x valent tous les deux 1, et une confusion entre les deux passe inaperçue. Évite aussi une valeur qui annule une parenthèse (ici x = 2 annule x − 2, et le test ne vérifierait plus ce produit). Le labo de la partie 7 fait ce test pour toi, avec beaucoup de valeurs à la fois.

Vérifie-toi (partie 3)

Développe : 4(2x − 3) ; −3(x + 5) ; x(2x − 7).
Réponse
8x − 12 ; −3x − 15 ; 2x² − 7x.
Enlève les parenthèses et réduis : 8 − (3x − 5) ; 2x + (x − 4) ; −(−x + 2).
Réponse
8 − 3x + 5 = −3x + 13 ; 3x − 4 ; x − 2.
Développe et réduis : (x + 3)(x + 4) ; (2x + 1)(x − 5) ; (x − 6)(3 − x).
Réponse
x² + 7x + 12 ; 2x² − 10x + x − 5 = 2x² − 9x − 5 ; 3x − x² − 18 + 6x = −x² + 9x − 18.
Développe et réduis B = 2(x − 1) − (x + 3)(x − 1).
Réponse
B = 2x − 2 − (x² + 2x − 3) = 2x − 2 − x² − 2x + 3 = −x² + 1.
Vérifie ton résultat de la question 4 avec x = 3.
Réponse
Départ : 2 × 2 − 6 × 2 = 4 − 12 = −8. Résultat : −9 + 1 = −8. Les deux concordent.

4Les identités remarquables

Trois produits reviennent si souvent qu'on apprend leur développement par cœur, pour ne pas refaire la double distributivité à chaque fois. On les appelle les identités remarquables (special products). Ce sont des raccourcis, comme les fonctions toutes faites d'un langage : tu pourrais réécrire sum() avec une boucle, mais la connaître te fait gagner du temps. Et comme pour une fonction toute faite, tu dois savoir ce qu'il y a dedans : chacune se redémontre en trois lignes.

4.1 Le carré d'une somme

(a + b)² =(a + b)(a + b) Le carré d'un nombre, c'est ce nombre multiplié par lui-même. =a × a + a × b + b × a + b × b La double distributivité : les 4 produits. =a² + 2ab + b² ab et ba sont semblables : ab + ba = 2ab, le « double produit ».

Première identité

(a + b)² = a² + 2ab + b²

(a + b)² n'est pas a² + b²

C'est l'erreur la plus fréquente de tout le calcul littéral, au lycée comme en licence. Un contre-exemple suffit à la réfuter : (3 + 4)² = 7² = 49, alors que 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Il manque 2 × 3 × 4 = 24 : les deux rectangles du dessin. Le carré se distribue sur un produit, (ab)² = a²b², mais jamais sur une somme.

4.2 Le carré d'une différence

(a − b)² =(a − b)(a − b) =a × a + a × (−b) + (−b) × a + (−b) × (−b) =a² − ab − ab + b² (−b) × (−b) = b² : moins par moins donne plus. =a² − 2ab + b²

Deuxième identité

(a − b)² = a² − 2ab + b²

Seul le double produit change de signe. Le dernier terme, b², reste positif. C'est d'ailleurs la première identité, avec −b à la place de b.

4.3 Le produit d'une somme par une différence

(a + b)(a − b) =a² − ab + ba − b² =a² − b² Les deux termes du milieu s'annulent : −ab + ba = 0. Il ne reste que deux termes.

Troisième identité

(a + b)(a − b) = a² − b²

Elle donne des calculs mentaux spectaculaires : 49 × 51 = (50 − 1)(50 + 1) = 50² − 1² = 2 500 − 1 = 2 499, et 98 × 102 = 100² − 2² = 10 000 − 4 = 9 996.

Identité	Son nom	Exemple
(a + b)² = a² + 2ab + b²	le carré d'une somme	(x + 3)² = x² + 6x + 9
(a − b)² = a² − 2ab + b²	le carré d'une différence	(x − 5)² = x² − 10x + 25
(a + b)(a − b) = a² − b²	le produit d'une somme par une différence	(x + 4)(x − 4) = x² − 16

4.4 Reconnaître a et b

Dans les identités, a et b peuvent être n'importe quoi : un nombre, x, 3x, ou toute une expression. Il faut d'abord reconnaître la forme, puis identifier a et b. C'est du filtrage par motif (pattern matching), comme le match de ta cheatsheet Racket : on compare l'expression au modèle (a + b)², et on en déduit ce que valent a et b. Ensuite, on remplace a et b par leurs valeurs, entre parenthèses, comme pour évaluer une expression (2.3).

(3x + 5)² C'est la forme (a + b)², avec a = 3x et b = 5. =(3x)² + 2 × 3x × 5 + 5² =9x² + 30x + 25 (3x)² = 3x × 3x = 9x² : le carré porte aussi sur le 3. L'erreur classique est d'écrire 3x².

(2x − 5)² = (2x)² − 2 × 2x × 5 + 5² = 4x² − 20x + 25 (3x − 2)(3x + 2) = (3x)² − 2² = 9x² − 4 101² = (100 + 1)² = 10 000 + 200 + 1 = 10 201

En programmation, une identité remarquable est une fonction dont on connaît la sortie : carre_somme(a, b) renvoie a² + 2ab + b². L'appeler avec a = 3x et b = 5, c'est exactement le calcul ci-dessus.

Vérifie-toi (partie 4)

Développe avec une identité : (x + 7)² ; (x − 4)² ; (x + 6)(x − 6).
Réponse
x² + 14x + 49 ; x² − 8x + 16 ; x² − 36.
Développe : (2x + 3)² ; (5x − 1)² ; (4 − 3x)(4 + 3x).
Réponse
4x² + 12x + 9 ; 25x² − 10x + 1 ; 16 − 9x² (ici a = 4 et b = 3x).
Un camarade écrit (x + 5)² = x² + 25. Donne une valeur de x qui prouve qu'il a tort.
Réponse
Avec x = 1 : (1 + 5)² = 36, mais 1 + 25 = 26. N'importe quelle valeur non nulle convient. Attention, x = 0 ne prouve rien : les deux côtés valent 25, parce que le terme oublié, 10x, est nul.
Calcule de tête 31², puis 29 × 31.
Réponse
(30 + 1)² = 900 + 60 + 1 = 961 ; (30 − 1)(30 + 1) = 900 − 1 = 899.
Développe et réduis (x + 2)² − (x − 2)².
Réponse
x² + 4x + 4 − (x² − 4x + 4) = x² + 4x + 4 − x² + 4x − 4 = 8x. Garde bien la deuxième identité entre parenthèses, à cause du signe moins.

5Factoriser

5.1 Ce que veut dire factoriser

Factoriser (factor), c'est transformer une somme en produit : le chemin inverse du développement. On part de ka + kb, et on revient à k(a + b). C'est la distributivité, lue de droite à gauche.

En programmation, tu factorises quand un morceau de code se répète à plusieurs endroits et que tu le mets en commun dans une variable ou une fonction : c'est le principe DRY (Don't Repeat Yourself). En maths, c'est pareil : on repère le facteur qui se répète dans chaque terme, et on le met en commun, devant une parenthèse.

Pourquoi se donner ce mal ? Parce qu'un produit dit des choses qu'une somme cache. L'équation x² − 5x = 0 ne se résout pas directement, mais sous la forme x(x − 5) = 0, elle se résout en une ligne (partie 6.4). Tu factoriseras aussi pour étudier le signe d'une expression, dans le prochain cours, et pour simplifier des fractions.

5.2 Première méthode : le facteur commun

La méthode

1. Écris chaque terme comme un produit, de façon à faire apparaître ce qui se répète.

2. Repère le facteur commun à tous les termes.

3. Écris-le devant une parenthèse, et mets dans la parenthèse ce qui reste de chaque terme.

4. Vérifie en redéveloppant.

5x + 10 = 5 × x + 5 × 2 = 5(x + 2) x² + 7x = x × x + 7 × x = x(x + 7) 6x² − 9x = 3x × 2x − 3x × 3 = 3x(2x − 3) On prend le plus grand facteur commun. 3(2x² − 3x) est juste, mais pas fini : il reste un facteur x commun dans la parenthèse. 4x + 4 = 4 × x + 4 × 1 = 4(x + 1) Le 1 est indispensable : quand un terme est égal au facteur commun, il laisse 1 dans la parenthèse, pas 0 et pas rien. Vérification : 4(x + 1) = 4x + 4.

Quand le facteur commun est une parenthèse

Le facteur commun peut être une expression entière. Pour le voir, donne-lui un nom, comme à une variable en programmation : appelons A l'expression x + 1.

(x + 1)(2x − 3) + (x + 1)(x + 4) =A(2x − 3) + A(x + 4) Avec A = x + 1, le facteur commun saute aux yeux. =A[(2x − 3) + (x + 4)] =(x + 1)(3x + 1) On remet x + 1 à la place de A, et on réduit le crochet : 2x − 3 + x + 4 = 3x + 1.

Avec un signe moins entre les deux produits, garde le deuxième reste entre parenthèses : le signe moins s'applique à tout ce qu'il contient.

(x − 2)(x + 5) − (x − 2)(3x − 1) =(x − 2)[(x + 5) − (3x − 1)] =(x − 2)(x + 5 − 3x + 1) Le signe moins change les signes de 3x et de −1. =(x − 2)(−2x + 6)

On peut aller plus loin, puisque −2x + 6 = 2(3 − x) : l'expression vaut aussi 2(x − 2)(3 − x). Un facteur commun peut aussi se cacher dans un carré, puisque (x + 3)² = (x + 3)(x + 3) :

(x + 3)² + 2(x + 3) =(x + 3)(x + 3) + 2(x + 3) =(x + 3)[(x + 3) + 2] =(x + 3)(x + 5)

5.3 Deuxième méthode : les identités remarquables à l'envers

Quand il n'y a pas de facteur commun, la deuxième piste est de reconnaître une identité remarquable sous sa forme développée, et de remonter au produit.

Une différence de deux carrés : a² − b² = (a − b)(a + b)

x² − 9 = x² − 3² = (x − 3)(x + 3) 4x² − 25 = (2x)² − 5² = (2x − 5)(2x + 5) (x + 1)² − 16 = (x + 1)² − 4² = [(x + 1) − 4][(x + 1) + 4] = (x − 3)(x + 5) Dans le dernier exemple, a est toute l'expression x + 1.

Trois termes, dont deux carrés : a² ± 2ab + b² = (a ± b)²

Pour x² + 6x + 9 : x² est le carré de x, et 9 est le carré de 3. Reste à vérifier le terme du milieu : 2 × x × 3 = 6x. C'est bien lui, donc x² + 6x + 9 = (x + 3)². De même :

4x² − 12x + 9 = (2x)² − 2 × 2x × 3 + 3² = (2x − 3)²

Vérifie toujours le terme du milieu

x² + 5x + 9 contient bien deux carrés, x² et 9. Mais 2 × x × 3 = 6x, et non 5x : ce n'est pas une identité remarquable.

Et une somme de deux carrés, comme x² + 9, ne se factorise pas avec ces outils. Ne cherche pas : aucune identité ne donne x² + 9. Elle ne se factorise d'ailleurs pas du tout avec des nombres réels, puisque x² + 9 n'est jamais nul.

5.4 Le plan d'attaque

Face à une expression à factoriser, pose-toi les questions dans cet ordre :

Y a-t-il un facteur commun à tous les termes (un nombre, x, une parenthèse) ? Si oui, mets-le en facteur.
Sinon, est-ce une identité remarquable ? Deux carrés séparés par un moins : a² − b². Trois termes, dont deux carrés : vérifie le double produit.
Une fois un facteur sorti, regarde si ce qui reste se factorise encore.
Vérifie toujours en redéveloppant, ou avec le labo.

3x² − 12 =3(x² − 4) Étape 1 : le facteur commun 3. =3(x − 2)(x + 2) Étape 3 : ce qui reste est une différence de deux carrés.

Certaines expressions ne relèvent d'aucune de ces deux méthodes, et se factorisent pourtant : x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3). La méthode générale, avec le discriminant Δ, viendra dans le cours sur le second degré. D'ici là, retiens qu'on peut toujours vérifier une factorisation proposée en la développant.

Vérifie-toi (partie 5)

Factorise : 7x − 14 ; x² − 3x ; 10x² + 15x ; 2x + 2.
Réponse
7(x − 2) ; x(x − 3) ; 5x(2x + 3) ; 2(x + 1).
Factorise : (x + 4)(x − 1) + (x + 4)(2x + 3) ; (2x − 1)² − (2x − 1)(x + 2).
Réponse
(x + 4)[(x − 1) + (2x + 3)] = (x + 4)(3x + 2). (2x − 1)[(2x − 1) − (x + 2)] = (2x − 1)(x − 3).
Factorise : x² − 49 ; 9x² − 1 ; x² − 10x + 25 ; 16x² + 8x + 1.
Réponse
(x − 7)(x + 7) ; (3x − 1)(3x + 1) ; (x − 5)² ; (4x + 1)², car 2 × 4x × 1 = 8x.
Factorise complètement : 2x² − 18 ; x³ − x.
Réponse
2(x² − 9) = 2(x − 3)(x + 3) ; x(x² − 1) = x(x − 1)(x + 1).
Un camarade factorise 6x + 6 en 6x. Où est l'erreur ?
Réponse
Il a oublié le 1 : 6x + 6 = 6 × x + 6 × 1 = 6(x + 1). En redéveloppant 6x, on ne retrouve pas 6x + 6 : la vérification aurait montré l'erreur.

6Résoudre une équation

6.1 Qu'est-ce qu'une équation ?

Une équation (equation) est une égalité qui contient une inconnue (unknown), en général x. C'est une question : « pour quelles valeurs de x cette égalité est-elle vraie ? »

Prenons 3x + 5 = 20. Avec x = 5 : 3 × 5 + 5 = 20, l'égalité est vraie, donc 5 est une solution (solution). Avec x = 2 : 3 × 2 + 5 = 11, qui n'est pas 20, donc 2 n'est pas solution.

Résoudre l'équation, c'est trouver toutes ses solutions, sans en oublier, et sans en ajouter de fausses. On note S l'ensemble des solutions : ici, S = {5}. Ton cours de logique appelait ce genre de phrase un prédicat (partie 8.1) : « 3x + 5 = 20 » est une proposition avec un trou, vraie pour certaines valeurs de x et fausse pour les autres. Résoudre, c'est trouver exactement les valeurs qui la rendent vraie.

Pourquoi ne pas essayer toutes les valeurs ?

En Python, tu pourrais chercher les solutions entières en les essayant toutes : [x for x in range(-100, 101) if 3*x + 5 == 20] donne [5]. Mais cette méthode rate les solutions qui ne sont pas entières, comme 7/2 ou √5, et celles qui sont hors de l'intervalle testé. Le calcul les trouve toutes, et prouve qu'il n'y en a pas d'autre.

Vérifier une solution, c'est remplacer x par la valeur trouvée dans l'équation de départ : c'est le test de ta réponse. Fais-le à chaque fois.

6.2 La balance

Une équation est une balance à l'équilibre : les deux côtés du signe = pèsent la même chose. Pour trouver x, on transforme l'équation sans jamais rompre l'équilibre, jusqu'à ce que x soit seul d'un côté.

On enlève 5 de chaque plateau : la balance reste à l'équilibre, et il reste 3x = 15. On partage ensuite chaque plateau en trois : x = 5.

Les deux règles de la balance

1. On peut ajouter ou soustraire le même nombre, ou la même expression, des deux côtés.

2. On peut multiplier ou diviser les deux côtés par le même nombre, à condition qu'il ne soit pas nul.

Chaque étape donne une équation équivalente : elle a exactement les mêmes solutions que la précédente. C'est pour ça qu'on écrit ⇔ entre les lignes (ton cours de logique, partie 5).

Pourquoi « pas nul » ? Multiplier les deux côtés par 0 donne 0 = 0 : une égalité toujours vraie, qui ne dit plus rien sur x. Et diviser par 0 est impossible. Ces deux opérations détruisent l'information, comme écraser un fichier.

Le raccourci « on fait passer de l'autre côté » cache ces deux règles. Un terme ajouté passe de l'autre côté en étant soustrait (règle 1) ; un facteur qui multiplie passe de l'autre côté en divisant (règle 2). L'erreur classique est de confondre les deux : dans 3x = 15, le 3 multiplie x, il passe donc en divisant. x = 15 ÷ 3 = 5, et non x = 15 − 3.

6.3 Les équations du premier degré

Une équation est du premier degré quand x n'y apparaît qu'à la puissance 1 : pas de x², pas de x au dénominateur.

La méthode

1. Si besoin, développe et réduis chaque côté.

2. Regroupe les termes en x d'un côté, et les nombres seuls de l'autre (règle 1).

3. Divise par le coefficient de x (règle 2).

4. Vérifie dans l'équation de départ.

3x + 5 = 20 ⇔3x = 15 On soustrait 5 des deux côtés. ⇔x = 5 On divise les deux côtés par 3. S = {5}.

7x − 4 = 3x + 10 ⇔7x − 3x = 10 + 4 On soustrait 3x et on ajoute 4 des deux côtés : les x à gauche, les nombres à droite. ⇔4x = 14 ⇔x = 14/4 = 7/2 Vérification : 7 × 7/2 − 4 = 41/2, et 3 × 7/2 + 10 = 41/2. S = {7/2}.

Garde la fraction exacte, 7/2, ou 3,5. Pour une solution comme 7/3, une valeur approchée, 2,33, serait fausse : 7/3 n'est pas égal à 2,33.

2(x − 3) = 4x + 1 ⇔2x − 6 = 4x + 1 On développe d'abord. ⇔2x − 4x = 1 + 6 ⇔−2x = 7 ⇔x = −7/2 On divise par −2 : le signe moins fait partie du coefficient. Vérification : 2(−7/2 − 3) = −13 et 4 × (−7/2) + 1 = −13.

Avec des fractions, commence par multiplier les deux côtés par un multiple commun des dénominateurs : elles disparaissent.

x/3 + 1/2 = 2 ⇔6 × x/3 + 6 × 1/2 = 6 × 2 On multiplie les deux côtés par 6, multiple de 3 et de 2. Chaque terme est multiplié, pas seulement le premier. ⇔2x + 3 = 12 ⇔2x = 9 ⇔x = 9/2 Vérification : (9/2) ÷ 3 = 3/2, et 3/2 + 1/2 = 2.

Quand les x disparaissent

2x + 3 = 2x + 5 ⇔ 0 = 2 : c'est faux, quelle que soit la valeur de x. L'équation n'a aucune solution : S = ∅, l'ensemble vide.

3(x + 2) = 3x + 6 ⇔ 0 = 0 : c'est vrai pour tout x. Tous les nombres réels sont solutions : S = ℝ. L'« équation » était en fait une identité, comme celles de la partie 4.

6.4 L'équation produit nul

La propriété du produit nul (zero product property)

A × B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0

Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.

Pourquoi ? Deux nombres non nuls ont toujours un produit non nul. Donc, si un produit est nul, au moins un de ses facteurs l'est. Le « ou » est celui de ton cours de logique : inclusif. Les deux facteurs peuvent être nuls en même temps.

(x − 2)(3x + 1) = 0 ⇔x − 2 = 0 ou 3x + 1 = 0 ⇔x = 2 ou x = −1/3 S = {−1/3 ; 2}. Deux équations du premier degré ont remplacé une équation difficile.

C'est tout l'intérêt de factoriser : un produit nul se découpe en équations simples, alors qu'une somme nulle ne se découpe pas.

Ça ne marche qu'avec 0

A × B = 6 ne donne pas « A = 6 ou B = 6 » : 2 × 3 = 6, et aucun des deux facteurs ne vaut 6. Seul le zéro a cette propriété.

La stratégie pour les équations avec des x²

1. Ramène tout du même côté, pour obtenir « … = 0 ».

2. Factorise ce côté (partie 5).

3. Applique le produit nul.

x² = 5x ⇔x² − 5x = 0 On soustrait 5x des deux côtés. ⇔x(x − 5) = 0 Le facteur commun x. ⇔x = 0 ou x = 5 S = {0 ; 5}.

Ne divise jamais par une expression qui peut être nulle

La tentation est de diviser les deux côtés de x² = 5x par x, pour obtenir x = 5. Mais on vient de perdre la solution 0 : quand x vaut 0, diviser par x, c'est diviser par 0, ce que la règle 2 interdit. Le produit nul ne perd aucune solution.

(x + 1)(2x − 3) = (x + 1)(x + 4) ⇔(x + 1)(2x − 3) − (x + 1)(x + 4) = 0 ⇔(x + 1)[(2x − 3) − (x + 4)] = 0 ⇔(x + 1)(x − 7) = 0 ⇔x = −1 ou x = 7 Diviser par (x + 1) aurait fait perdre la solution −1.

x² − 9 = 0 ⇔ (x − 3)(x + 3) = 0 ⇔ x = 3 ou x = −3 4x² − 12x + 9 = 0 ⇔ (2x − 3)² = 0 ⇔ 2x − 3 = 0 ⇔ x = 3/2 Un carré est nul seulement si ce qu'il contient est nul : une seule solution.

6.5 Les équations x² = a

Combien de nombres ont pour carré 49 ? Deux : 7 et −7. Plus généralement :

Les solutions de x² = a

Si a > 0 : x = √a ou x = −√a, deux solutions.

Si a = 0 : x = 0, une seule solution.

Si a < 0 : aucune solution, puisqu'un carré n'est jamais négatif.

Pourquoi, pour a positif ? x² = a ⇔ x² − (√a)² = 0 ⇔ (x − √a)(x + √a) = 0 : une différence de deux carrés (5.3), puis le produit nul.

x² = 49 ⇔ x = 7 ou x = −7 x² = 5 ⇔ x = √5 ou x = −√5 x² = −4 : aucune solution, S = ∅ 2x² − 18 = 0 ⇔ 2x² = 18 ⇔ x² = 9 ⇔ x = 3 ou x = −3 (x − 1)² = 16 ⇔ x − 1 = 4 ou x − 1 = −4 ⇔ x = 5 ou x = −3 Dans la dernière, c'est x − 1 qui joue le rôle de x.

N'oublie pas la solution négative

Écrire seulement « x = 7 » pour x² = 49 oublie une solution. L'erreur vient de la racine : √49 vaut seulement 7 (partie 1.5), mais l'équation x² = 49 a deux solutions.

6.6 Les équations avec x au dénominateur

Quand x apparaît au dénominateur, certaines valeurs de x sont interdites : celles qui annulent un dénominateur, puisqu'on ne divise pas par 0. On les appelle les valeurs interdites (excluded values). Une valeur interdite ne peut jamais être solution, même si le calcul la fait apparaître.

Un quotient nul

A/B = 0 ⇔ A = 0 et B ≠ 0

Une fraction est nulle quand son numérateur est nul, à condition que son dénominateur ne le soit pas.

La méthode

1. Cherche les valeurs interdites : celles qui annulent un dénominateur.

2. Résous l'équation.

3. Retire des solutions trouvées les valeurs interdites.

Exemple 1 : (x − 3)/(x + 2) = 0. Valeur interdite : x + 2 = 0 ⇔ x = −2. Numérateur nul : x − 3 = 0 ⇔ x = 3, qui n'est pas interdite. S = {3}.

Exemple 2 : (x² − 4)/(x − 2) = 0. Valeur interdite : x = 2. Numérateur nul : x² − 4 = 0 ⇔ (x − 2)(x + 2) = 0 ⇔ x = 2 ou x = −2. Mais 2 est interdite : en x = 2, l'expression n'existe même pas, et Python lèverait ZeroDivisionError. S = {−2}.

Exemple 3 : (2x + 1)/(x − 1) = 3. Valeur interdite : x = 1. Pour x ≠ 1, le facteur x − 1 n'est pas nul, et la règle 2 permet de multiplier les deux côtés par lui :

(2x + 1)/(x − 1) = 3 ⇔2x + 1 = 3(x − 1) On multiplie les deux côtés par (x − 1), non nul puisque x ≠ 1. ⇔2x + 1 = 3x − 3 ⇔−x = −4 ⇔x = 4 4 n'est pas interdite. Vérification : (2 × 4 + 1)/(4 − 1) = 9/3 = 3. S = {4}.

6.7 Le plan d'attaque

L'équation contient…	La méthode	Exemple
x seulement à la puissance 1	premier degré : isoler x (6.3)	7x − 4 = 3x + 10
des x², ou des produits de parenthèses	tout d'un côté, factoriser, produit nul (6.4)	x² = 5x
la forme x² = un nombre	deux, une ou aucune solution (6.5)	x² = 49
x au dénominateur	les valeurs interdites d'abord (6.6)	(2x + 1)/(x − 1) = 3

Dans tous les cas, finis en vérifiant tes solutions dans l'équation de départ. Et si une équation avec des x² ne se factorise avec aucun des outils de la partie 5, comme x² + 5x + 6 = 0 tant que tu ne vois pas sa factorisation, attends le cours sur le second degré : le discriminant la résout à coup sûr.

Vérifie-toi (partie 6)

Résous : 5x − 3 = 12 ; 4 − 2x = 10 ; 3x + 7 = x − 5.
Réponse
5x = 15 ⇔ x = 3 ; −2x = 6 ⇔ x = −3 ; 2x = −12 ⇔ x = −6.
Résous : 3(x + 2) = 5x − 4 ; x/2 − 1/3 = 1.
Réponse
3x + 6 = 5x − 4 ⇔ −2x = −10 ⇔ x = 5. En multipliant par 6 : 3x − 2 = 6 ⇔ 3x = 8 ⇔ x = 8/3.
Résous : (2x − 6)(x + 5) = 0 ; x² + 4x = 0 ; x² − 25 = 0.
Réponse
x = 3 ou x = −5 ; x(x + 4) = 0, donc x = 0 ou x = −4 ; (x − 5)(x + 5) = 0, donc x = 5 ou x = −5.
Résous : x² = 81 ; x² = 7 ; x² + 1 = 0 ; (x + 2)² = 9.
Réponse
x = 9 ou x = −9 ; x = √7 ou x = −√7 ; aucune solution, car x² = −1 ; x + 2 = 3 ou x + 2 = −3, donc x = 1 ou x = −5.
Résous : (x + 4)/(x − 1) = 0 ; (x² − 1)/(x + 1) = 0.
Réponse
Valeur interdite 1, numérateur nul pour x = −4 : S = {−4}. Valeur interdite −1 ; le numérateur s'annule pour 1 et pour −1, mais −1 est interdite : S = {1}.
Pourquoi est-ce une erreur de diviser par x les deux côtés de x² = 3x ? Résous correctement.
Réponse
Quand x vaut 0, diviser par x, c'est diviser par 0 : on perd la solution 0. Correctement : x² − 3x = 0 ⇔ x(x − 3) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 3.

7Le labo : vérifie tes calculs

Le labo fait pour toi le test de la partie 3.5, avec beaucoup de valeurs à la fois. Il ne donne pas les réponses : il te dit si la tienne est juste, comme le fichier d'autocorrection de ton cours de Racket. Utilise-le après avoir fini un calcul à la main, jamais à sa place.

Expression de départ

Ton résultat (développé ou factorisé)

Exemples prêts à tester

Comment écrire

3x ou 3*x pour 3x ; x^2 ou x² pour x² ; (x+1)(x-1) pour un produit de parenthèses ; / pour une fraction, avec des parenthèses autour du numérateur et du dénominateur s'ils contiennent plusieurs termes : (x+1)/(x-2) ; sqrt(5) ou √5 pour une racine. Les virgules décimales sont acceptées : 2,5. Tu peux utiliser d'autres lettres que x, par exemple a et b pour vérifier une identité.

Le labo t'affiche aussi comment il a lu ce que tu as tapé : si sa lecture n'est pas celle que tu voulais, ajoute des parenthèses.

Comment il décide

Le labo remplace chaque lettre par une trentaine de valeurs, entières et décimales, et compare les résultats. Une seule différence suffit à prouver que deux expressions ne sont pas égales : il t'affiche alors la valeur en cause, pour que tu refasses le calcul à la main avec elle. Si toutes les valeurs concordent, tes deux expressions sont égales, avec une quasi-certitude : pour les calculs de ce cours, une erreur qui passerait tous ces tests est extrêmement improbable. Ce n'est pas une démonstration, c'est un test, comme les tests unitaires d'un programme.

Pour une équation, il remplace x par chacune de tes valeurs, et compare les deux côtés. Il ne te dit pas si tu as trouvé toutes les solutions : ça, seul le calcul peut le garantir.

8La feuille d'entraînement

Les exercices sont rangés par thème, du plus facile au plus difficile : niveau 1 une application directe, niveau 2 deux étapes, niveau 3 de la réflexion. Fais-les sur papier, vérifie avec le labo, puis compare avec la solution. N'essaie pas de tout faire d'un coup : cinq exercices par jour, c'est très bien.

A. Les nombres

Calcule 18 − 3 × (4 − 6)². niveau 1
Solution
(4 − 6)² = (−2)² = 4, puis 3 × 4 = 12, et 18 − 12 = 6.
Calcule 3/4 + 5/6, puis 3/4 × 5/6. niveau 1
Solution
9/12 + 10/12 = 19/12 ; 15/24 = 5/8.
Calcule (1/2 − 1/3) ÷ 1/4. niveau 2
Solution
1/2 − 1/3 = 3/6 − 2/6 = 1/6, puis 1/6 ÷ 1/4 = 1/6 × 4 = 4/6 = 2/3.
Écris sous la forme d'une seule puissance de 2 : 2⁵ × 2³ ÷ 2⁴, puis (2²)³ × 2. niveau 2
Solution
2^{5 + 3 − 4} = 2⁴ ; 2⁶ × 2¹ = 2⁷.
Démontre que (−1) × (−1) = 1, en calculant de deux façons (−1) × (1 + (−1)). niveau 3
Solution
D'un côté, 1 + (−1) = 0, donc le produit vaut (−1) × 0 = 0. De l'autre, par distributivité, il vaut (−1) × 1 + (−1) × (−1) = −1 + (−1) × (−1). Les deux calculs donnent le même nombre, donc −1 + (−1) × (−1) = 0, c'est-à-dire (−1) × (−1) = 1. La règle des signes est une conséquence de la distributivité.

B. Développer

Développe et réduis 5(3x − 2) − 2(x + 4). niveau 1
Solution
15x − 10 − 2x − 8 = 13x − 18.
Développe (x + 6)(x − 2). niveau 1
Solution
x² − 2x + 6x − 12 = x² + 4x − 12.
Développe (3x − 2)(2x − 5). niveau 2
Solution
6x² − 15x − 4x + 10 = 6x² − 19x + 10. Le dernier produit, (−2) × (−5), vaut +10.
Développe et réduis (x + 1)(x + 2) − (x − 3)(x + 4). niveau 2
Solution
(x² + 3x + 2) − (x² + x − 12) = x² + 3x + 2 − x² − x + 12 = 2x + 14.
Développe (x + 1)(x² − x + 1). Combien de produits faut-il écrire ? niveau 3
Solution
2 × 3 = 6 produits : x³ − x² + x + x² − x + 1 = x³ + 1. Presque tout s'annule.

C. Les identités remarquables

Développe (x + 9)², (x − 1)² et (x − 8)(x + 8). niveau 1
Solution
x² + 18x + 81 ; x² − 2x + 1 ; x² − 64.
Développe (3x + 4)², (2 − 5x)² et (x/2 + 1)(x/2 − 1). niveau 2
Solution
9x² + 24x + 16 ; 4 − 20x + 25x², soit 25x² − 20x + 4 ; (x/2)² − 1² = x²/4 − 1.
Calcule de tête 99² et 103 × 97. niveau 2
Solution
(100 − 1)² = 10 000 − 200 + 1 = 9 801 ; (100 + 3)(100 − 3) = 10 000 − 9 = 9 991.
Montre que, pour tout nombre n, (n + 1)² − n² = 2n + 1. Déduis-en 51², sachant que 50² = 2 500. niveau 3
Solution
(n + 1)² − n² = n² + 2n + 1 − n² = 2n + 1. Avec n = 50 : 51² = 50² + 2 × 50 + 1 = 2 500 + 101 = 2 601.

D. Factoriser

Factorise 12x + 18, 5x² − x et 8x³ + 4x². niveau 1
Solution
6(2x + 3) ; x(5x − 1) ; 4x²(2x + 1).
Factorise x² − 64, 25 − x² et x² + 14x + 49. niveau 1
Solution
(x − 8)(x + 8) ; (5 − x)(5 + x) ; (x + 7)², car 2 × x × 7 = 14x.
Factorise (3x + 1)(x − 2) − (3x + 1)(2x + 5). niveau 2
Solution
(3x + 1)[(x − 2) − (2x + 5)] = (3x + 1)(x − 2 − 2x − 5) = (3x + 1)(−x − 7), qu'on peut aussi écrire −(3x + 1)(x + 7).
Factorise (x − 4)² − 9 et 9x² − 6x + 1. niveau 2
Solution
[(x − 4) − 3][(x − 4) + 3] = (x − 7)(x − 1) ; (3x)² − 2 × 3x × 1 + 1² = (3x − 1)².
Factorise (2x + 3)² − (x + 1)². niveau 2
Solution
C'est a² − b² avec a = 2x + 3 et b = x + 1 : [(2x + 3) − (x + 1)][(2x + 3) + (x + 1)] = (x + 2)(3x + 4).
Factorise complètement 5x³ − 20x et x⁴ − 1. niveau 3
Solution
5x(x² − 4) = 5x(x − 2)(x + 2). x⁴ − 1 = (x²)² − 1² = (x² − 1)(x² + 1) = (x − 1)(x + 1)(x² + 1) ; le dernier facteur, une somme de carrés, ne se factorise pas.

E. Les équations

Résous 6x − 7 = 2x + 9. niveau 1
Solution
4x = 16 ⇔ x = 4.
Résous 4(2x − 1) = 3(x + 2). niveau 1
Solution
8x − 4 = 3x + 6 ⇔ 5x = 10 ⇔ x = 2.
Résous (x + 1)/4 − x/6 = 1. niveau 2
Solution
En multipliant par 12 : 3(x + 1) − 2x = 12 ⇔ 3x + 3 − 2x = 12 ⇔ x = 9. Vérification : 10/4 − 9/6 = 2,5 − 1,5 = 1.
Résous (4x − 3)(x + 7) = 0, puis 3x² = 12x. niveau 2
Solution
x = 3/4 ou x = −7. Puis 3x² − 12x = 0 ⇔ 3x(x − 4) = 0 ⇔ x = 0 ou x = 4 ; diviser par x aurait perdu la solution 0.
Résous x² − 6x + 9 = 0, puis 9x² = 4. niveau 2
Solution
(x − 3)² = 0 ⇔ x = 3. Puis x² = 4/9 ⇔ x = 2/3 ou x = −2/3.
Résous (x − 1)(x + 2) = (x − 1)(3x − 4). niveau 2
Solution
(x − 1)[(x + 2) − (3x − 4)] = 0 ⇔ (x − 1)(−2x + 6) = 0 ⇔ x = 1 ou x = 3.
Résous (x − 2)/(x + 3) = 2. niveau 3
Solution
Valeur interdite : −3. Pour x ≠ −3 : x − 2 = 2(x + 3) ⇔ x − 2 = 2x + 6 ⇔ −x = 8 ⇔ x = −8. Vérification : (−10)/(−5) = 2.
Résous (x² − 9)/(x + 3) = 0, puis (x + 5)² = (2x + 1)². niveau 3
Solution
Valeur interdite −3 ; le numérateur s'annule pour 3 et −3, donc S = {3}. Puis (x + 5)² − (2x + 1)² = 0 ⇔ [(x + 5) − (2x + 1)][(x + 5) + (2x + 1)] = 0 ⇔ (−x + 4)(3x + 6) = 0 ⇔ x = 4 ou x = −2.
Un rectangle a une longueur égale à sa largeur plus 3 cm, et une aire de 40 cm². Trouve ses dimensions. Indice : appelle x la largeur, et vérifie en développant que x² + 3x − 40 = (x − 5)(x + 8). niveau 3
Solution
x(x + 3) = 40 ⇔ x² + 3x − 40 = 0 ⇔ (x − 5)(x + 8) = 0 ⇔ x = 5 ou x = −8. Une largeur ne peut pas être négative : le rectangle mesure 5 cm sur 8 cm, et 5 × 8 = 40. L'équation a deux solutions, mais le problème n'en garde qu'une.

Avant de passer au cours suivant, tu dois pouvoir…

appliquer les priorités et la règle des signes, et calculer avec des fractions, sans calculatrice ;
dire si une expression est une somme ou un produit ;
développer un produit de deux parenthèses sans erreur de signe ;
réciter les trois identités remarquables, les redémontrer, et reconnaître a et b ;
factoriser avec un facteur commun ou une identité remarquable, puis vérifier ;
résoudre une équation du premier degré, une équation produit nul, une équation x² = a, et une équation avec x au dénominateur ;
expliquer pourquoi on ne divise jamais les deux côtés d'une équation par x.

Et ensuite ?

Le chapitre suivant de ta liste porte sur les inéquations et les tableaux de signes. Résoudre 3x − 6 > 0 ressemble beaucoup à résoudre une équation, à une différence près, qui piège tout le monde : multiplier ou diviser par un nombre négatif retourne le sens de l'inégalité. Les tableaux de signes, eux, reposent directement sur la partie 5 : pour connaître le signe d'un produit, on étudie le signe de chacun de ses facteurs. C'est pour ça qu'on factorise autant.