Majorants et bornes, depuis le tout débutMajorant, minorant, maximum, minimum, borne supérieure, borne inférieure : six mots pour décrire les bords d'un ensemble de nombres.

0Mode d'emploi

Les mots, et où ils sont expliqués

• •Majorant, minorant
• •Majorée, minorée, bornée
• •Maximum, minimum
• •Borne supérieure, borne inférieure
• •La caractérisation avec ε
• •L'axiome de la borne supérieure
• •Relecture de tes notes

1Ce qu'il faut savoir avant

1.1 L'ordre sur ℝ

Deux réels se comparent toujours : on a x ≤ y ou y ≤ x. Ton polycopié le dit en une phrase : ℝ est totalement ordonné. Sur la droite graduée, « plus petit » veut dire « plus à gauche ».

Une règle sert dans presque toutes les preuves de ce chapitre.

1.2 « Soit A une partie de ℝ »

Cette phrase ouvre ton cours. Une partie de ℝ, c'est un sous-ensemble de ℝ : un ensemble dont tous les éléments sont des réels. On écrit A ⊂ ℝ. Ça peut être un intervalle comme [1 ; 2], un ensemble de points isolés, ℕ, ℤ…

1.3 Deux façons de décrire un ensemble

Ton cours utilise deux notations très différentes. Il faut savoir les lire.

Dans la seconde notation, n n'est pas un élément de l'ensemble : c'est le compteur qui sert à fabriquer les éléments. Les éléments, ce sont les nombres 1/n. Et ℕ* désigne ℕ privé de 0, parce qu'on ne divise pas par 0.

2Majorant et minorant

2.1 Les définitions

Une image : les éléments de A sont des personnes de tailles différentes, qui doivent passer sous une porte. Un majorant, c'est une hauteur de porte qui laisse passer tout le monde sans se baisser. Si personne ne dépasse 1,90 m, une porte de 2 m convient, une porte de 2,50 m aussi, une porte de 10 m aussi. Un minorant, c'est l'inverse : une hauteur que tout le monde atteint ou dépasse.

Trois remarques découlent directement de la définition.

• Un majorant n'a pas besoin d'appartenir à A, c'est la remarque de ton cours. 3 est un majorant de [1 ; 2], alors que 3 ∉ [1 ; 2]. Un majorant est un réel quelconque, qui doit seulement être au-dessus de tout le monde.
• Si M est un majorant, tout nombre plus grand en est un aussi. Si x ≤ M et M ≤ M′, alors x ≤ M′. Un ensemble qui a un majorant en a donc une infinité, comme le dit ton polycopié.
• Les majorants forment une demi-droite qui part vers la droite, et les minorants une demi-droite qui part vers la gauche. Toute la question des sections 3 et 4 sera : où commence cette demi-droite ?

2.2 Le laboratoire des majorants

Choisis un ensemble A, puis déplace le nombre c. La page te dit si c est un majorant ou un minorant de A. Quand ce n'est pas le cas, elle te montre un élément de A qui le prouve : c'est le témoin, le contre-exemple qui fait tomber le « pour tout ».

À essayer : avec ]0 ; 1[, mets c = 1, puis c = 0,99. Avec {1/n ; n ∈ ℕ*}, cherche le plus petit majorant, puis le plus grand minorant. Avec ℕ, essaie de trouver un majorant.

2.3 Les exemples de ton cours, expliqués

• ]0 ; 1[ : 1 est un majorant, même s'il n'est pas dans A, car tous les éléments sont < 1, donc ≤ 1. Mais 0,99 n'en est pas un : 0,995 est dans A et dépasse 0,99. Aucun nombre plus petit que 1 n'est un majorant : entre lui et 1, il reste toujours des éléments de A.
• {1/n ; n ∈ ℕ*} : 0 est un minorant, car 1/n > 0 pour tout n. Mais 0,01 n'en est pas un : 1/101 est dans A et 1/101 < 0,01. Aucun nombre strictement positif n'est un minorant, puisque les points se rapprochent de 0 autant qu'on veut.
• ℕ : il n'a aucun majorant. Quel que soit le réel M positif, l'entier E(M) + 1 est dans ℕ et dépasse M (E(M) est la partie entière de M, définie dans ton polycopié). Si M est négatif, 0 le dépasse déjà.

2.4 Comment le prouver

La définition commence par « pour tout ». Les deux méthodes du cours de logique s'appliquent donc directement.

2.5 Majorée, minorée, bornée

Dans la marge de tes notes, à côté de la colonne « Bornée ? », tu as écrit « what is that supposed to mean? ». Voici la réponse : il y a trois définitions.

Une borne, c'est une limite qu'on ne dépasse pas, comme les bornes au bord des routes. Un ensemble borné tient entre deux bornes. Le mot ressemble à « borne supérieure », et les deux idées sont liées (section 4), mais « bornée » veut seulement dire « majorée et minorée ».

Regarde l'ordre des quantificateurs : ∃M vient avant ∀x. On cherche un seul M, choisi une fois pour toutes, qui convient pour tous les x. C'est la clé passe-partout de la partie 8.5 du cours de logique.

On peut aussi écrire « bornée » avec une valeur absolue. Rappel : |x| ≤ M veut dire −M ≤ x ≤ M.

A est bornée ⇔ ∃M ∈ ℝ, ∀x ∈ A, |x| ≤ M

En effet, si |x| ≤ M pour tout x de A, alors −M est un minorant et M un majorant. Inversement, si m ≤ x ≤ M′ pour tout x de A, le nombre M = max(|m| ; |M′|) vérifie −M ≤ m ≤ x ≤ M′ ≤ M, donc |x| ≤ M. C'est cette forme qu'utilise l'exercice 9 de ta feuille, « f est bornée ».

3Maximum et minimum

3.1 Les définitions

Avec l'image de la porte : le maximum, c'est la personne la plus grande du groupe, et elle doit faire partie du groupe. Un majorant peut être n'importe quelle hauteur de porte ; le maximum, lui, est un élément qu'on peut montrer du doigt.

3.2 Exemples

• [1 ; 2] : max = 2 et min = 1. Les deux bouts sont dans l'ensemble.
• ]0 ; 1[ : ni maximum, ni minimum. 1 est un majorant, mais 1 ∉ A. Et aucun élément de A n'est un majorant (section 3.4).
• {1/n ; n ∈ ℕ*} : max = 1, car 1 = 1/1 est dans A et 1/n ≤ 1 pour tout n. Pas de minimum : 0 est un minorant, mais 0 ∉ A, comme tu l'as noté. Et pour tout élément 1/n, l'élément 1/(n + 1) est plus petit.
• ℕ : min = 0, pas de maximum.

3.3 Il y a au plus un maximum

C'est pour ça qu'on dit « le maximum ». Voici la preuve de ton cours, rédigée complètement.

3.4 Montrer qu'un ensemble n'a pas de maximum

« A a un maximum » s'écrit ∃M ∈ A, ∀x ∈ A, x ≤ M. Sa négation :

A n'a pas de maximum ⇔ ∀M ∈ A, ∃x ∈ A, x > M

Autrement dit, pour chaque élément de A, on en trouve un autre, plus grand, dans A. Le plus simple est souvent de raisonner par l'absurde.

4Borne supérieure et borne inférieure

4.1 Le problème

]0 ; 1[ n'a pas de maximum. Pourtant, 1 joue clairement un rôle spécial : c'est le bord droit de l'ensemble. La borne supérieure donne un nom à ce bord, même quand il n'appartient pas à l'ensemble.

4.2 Les définitions

Avec l'image de la porte : la borne supérieure, c'est la porte la plus basse qui laisse encore passer tout le monde. Si le plus grand du groupe mesure 1,90 m, c'est 1,90 m, et la borne supérieure est alors le maximum. Mais imagine un groupe de 1,80 m, 1,85 m, 1,875 m, 1,8875 m…, qui s'approche de 1,90 m sans l'atteindre. Il n'y a pas de plus grand, et pourtant la porte idéale mesure toujours 1,90 m.

4.3 Le laboratoire des bornes

Même principe qu'en 2.2, avec en plus sup, inf, max et min, et un test de la caractérisation avec ε (section 4.6) : bouge ε et regarde la page trouver un élément de A juste sous la borne supérieure.

4.4 Les propriétés de ton cours, démontrées

Unicité

Si sup A existe, il est unique. La preuve est la même que pour le maximum : si s₁ et s₂ sont deux plus petits majorants, alors s₁ ≤ s₂ (car s₁ est le plus petit et s₂ est un majorant) et s₂ ≤ s₁ (pour la même raison), donc s₁ = s₂.

Le lien avec le maximum

En pratique : pour savoir si A a un maximum, cherche sup A, puis regarde s'il appartient à A. Pour ]0 ; 1[, sup A = 1 ∉ A : pas de maximum. Pour [1 ; 2], sup A = 2 ∈ A : max A = 2.

La monotonie

L'intuition : si on ajoute des personnes au groupe, la porte idéale ne peut que monter, ou rester à la même hauteur. Pour les bornes inférieures, c'est l'inverse : si A ⊂ B, avec A non vide et B minorée, alors inf A ≥ inf B.

4.5 Le tableau de ton cours, complété

Règle de lecture : le maximum existe exactement quand sup A appartient à A, et le minimum exactement quand inf A appartient à A. Vérifie-le ligne par ligne.

4.6 La caractérisation avec ε

C'est le résultat le plus important du chapitre pour la suite, et il est dans ton polycopié (page 5). La lettre grecque ε (epsilon) désigne un nombre strictement positif, qu'on imagine tout petit.

D'où vient cette formule ? De la négation. D'après la section 2.4, « s − ε n'est pas un majorant de A » s'écrit ∃x ∈ A, x > s − ε. La caractérisation dit donc simplement que tout nombre plus petit que s, de la forme s − ε, n'est pas un majorant.

Exemple : sup ]0 ; 1[ = 1. 1 est un majorant (section 2.4). Soit ε > 0. Le nombre x = max(1 − ε/2 ; 1/2) est dans ]0 ; 1[ et vérifie x > 1 − ε. Donc 1 = sup ]0 ; 1[. Le laboratoire de la section 4.3 calcule ce x pour toi quand tu bouges ε.

Exemple : inf {1/n ; n ∈ ℕ*} = 0. 0 est un minorant. Soit ε > 0. D'après la propriété d'Archimède de ton polycopié, il existe un entier n > 1/ε, et alors 1/n < ε = 0 + ε. Donc 0 = inf. Comme 0 ∉ A, l'ensemble n'a pas de minimum. Tu retrouveras exactement cet argument dans l'exercice 8 de ta feuille.

5L'axiome de la borne supérieure

Ton cours ne démontre pas cette propriété : c'est une propriété fondamentale de ℝ, qu'on admet. Ton polycopié la dit « essentielle pour comprendre la construction de ℝ ». Regardons pourquoi chaque mot compte.

• « majorée » : ℕ n'a aucun majorant, donc pas de plus petit majorant. Pas de borne supérieure.
• « non vide » : tout réel M est un majorant de l'ensemble vide. En effet, « pour tout x ∈ ∅, x ≤ M » est vrai par vacuité, puisqu'il n'y a aucun x pour le contredire (partie 8.3 du cours de logique). Les majorants de ∅ sont donc tous les réels, et il n'y a pas de plus petit réel. Pas de borne supérieure.

5.1 Pourquoi c'est une propriété de ℝ, et pas de ℚ

Dans ℚ, la propriété est fausse. Prends A = [1 ; √2[ ∩ ℚ, l'ensemble des fractions comprises entre 1 et √2. A est non vide (il contient 1) et majorée (par 2, par exemple).

Si on cherche ses majorants parmi les fractions, on trouve toutes les fractions plus grandes que √2. Or il n'y a pas de plus petite fraction plus grande que √2 : entre √2 et n'importe quelle fraction q > √2, il y a toujours une autre fraction, plus proche de √2. Ton polycopié le dit ainsi : ℚ est dense dans ℝ. Donc A n'a pas de borne supérieure dans ℚ.

Dans ℝ, en revanche, sup A = √2. La borne supérieure tombe exactement sur le « trou » de ℚ à l'endroit de √2, celui dont on avait parlé à propos de la droite graduée. La propriété de la borne supérieure est la façon précise de dire que la droite réelle n'a pas de trou.

6Pourquoi c'est la porte d'entrée des suites

Prends la suite u_n = 1 − 1/n, pour n ≥ 1 : 0 ; 1/2 ; 2/3 ; 3/4 ; 4/5… Ses termes forment l'ensemble {1 − 1/n ; n ∈ ℕ*}, que tu peux étudier dans les laboratoires. La suite monte, ne dépasse jamais 1, et s'en approche autant qu'on veut : sa borne supérieure vaut 1.

Tu verras dans le cours de suites deux résultats construits exactement sur ce chapitre.

• Le théorème de la limite monotone (monotone convergence theorem) : toute suite croissante et majorée converge, et sa limite est la borne supérieure de ses termes. Ici, u_n tend vers 1.
• La définition de la limite : u_n tend vers ℓ si ∀ε > 0, ∃N ∈ ℕ, ∀n ≥ N, |u_n − ℓ| < ε. Elle commence comme la caractérisation de la section 4.6 : « pour tout ε > 0, il existe… ».

Si la section 4.6 est claire pour toi, tu as déjà fait une bonne partie du chemin vers la notion de limite.

7Relecture de tes notes

Ce qui est juste

• Les définitions de majorant et de minorant, et la remarque « un majorant n'a pas besoin d'appartenir à A ».
• Tout ton tableau des majorants et des minorants, y compris le ∅ pour les majorants de ℕ.
• Les définitions de borne supérieure et de borne inférieure, l'unicité, le lien avec le maximum et sa preuve.
• Toutes les valeurs de ton dernier tableau (sup, inf, max, min).

Ce qu'il faut corriger

1. La définition du maximum. Tu as écrit « M est un maximum de A si A est un majorant et M ∈ A ». C'est M qui est un majorant de A, pas A : « M est un majorant de A et M ∈ A ».
2. « min = ∅ » pour {1/n ; n ∈ ℕ*} : le minimum est un nombre, pas un ensemble. On écrit « A n'a pas de minimum » (section 3.2).
3. L'unicité du maximum. « M₁ ≤ M₂ ⇒ M₁ = M₂ » : une seule inégalité ne suffit pas. Il faut M₁ ≤ M₂ et M₂ ≤ M₁ (section 3.3).
4. Le titre de ta dernière colonne : « min A » au lieu de « inf A » (section 4.5).
5. La preuve de la monotonie (« En effet : sup B majore B ⇒ majore A et sup A… ») est incomplète. Sa version complète est en section 4.4.
6. La colonne « Bornée ? », à côté de laquelle tu as noté « borne sup » : « bornée » veut dire « majorée et minorée » (section 2.5). Ce n'est pas la même chose qu'avoir une borne supérieure, qui ne demande que d'être majorée (et non vide).

8Bilan

Sur ta feuille de TD, l'exercice 9 (« f est bornée ») utilise la section 2.5, et l'exercice 8 le même argument que la fin de la section 4.6.